Condizioni che individuano una circonferenza

Procedimenti di costruzione

Gli elementi che definiscono una circonferenza in un piano sono Centro e Raggio ma una circonferenza può essere individuata anche quando si conoscono dei punti per cui passa o delle rette ad essa tangenti. Ci si domanda: quanti punti bisogna conoscere, oppure quante tangenti e, se si conoscono alcuni punti e alcune tangenti, quanti devono essere?

Il problema va affrontato nei seguenti termini: per individuare una circonferenza sono necessarie 3 condizioni ed in questa logica la conoscenza del centro corrisponde a due condizioni, il raggio, il passaggio per un punto o una tangente corrispondono ciascuno ad una condizione. Se di una circonferenza conosciamo una tangente ed il punto di tangenza abbiamo due condizioni.

Dovendo costruire una circonferenza con GeoGebra cerchiamo ora di analizzare tutte le possibilità che che ci sono, tenendo presente che talvolta di circonferenze ce ne sono più di una.

Per comodità abbreviamo le condizioni descritte con le parole: Centro, Raggio, Punto, Tangente che si possono ulteriormente abbreviare con le sigle C, R, P, T.

Conoscendo il centro abbiamo i casi: CR CP CT

Conoscendo il raggio abbiamo i casi: RPP RTT RPT

Nel caso di soli punti e tangenti: PPP PPT PTT TTT

Dobbiamo poi distinguere nel caso in cui c'è Punto e Tangente se il punto è punto di tangenza o è un punto di passaggio esterno alla retta tangente.

Passiamo in rassegna tutti i casi possibili in modo sistematico tralasciando per i puù semplici di mostrare le costruzioni.

CR – Si conosce il Centro ed il Raggio della circonferenza da costruire.

Per questa costruzione esiste un apposito strumento: Circonferenza – dati centro e raggio

Il raggio può essere indicato numericamente nella linea di edit della finestra a comparsa oppure, se si usa lo strumento Compasso la misura del raggio si indica cliccando su un segmento noto.

CP – Si conosce il Centro ed un Punto per cui deve passare la circonferenza.

Anche in questo caso esiste un apposito strumento: Circonferenza – dato il centro e un punto per tracciare la circonferenza richiesta.

CT – Si conosce il Cengtro ed una Retta a cui la circonferenza deve essere tangente.

Si manda dal centro la perpendicolare alla retta, si calcola il punto di intersezione tra le due rette che è il punto di tangenza per cui la circonferenza deve passare e si usa quindi lo strumento descritto nel caso visto sopra.

RPP – Si conosce il Raggio ed i Due Punti per cui la circonferenza deve passare.

In questo caso le circonferenze sono due.

Dati due punti A e B, si sa che il centro della circonferenza si deve trovare sull'asse del segmento AB perchè deve avere la stessa distanza da questi. Centrando in uno di questi, nel nostro caso A, si traccia la circonferenza c di centro r, che è il luogo dei punti che distano r da a. Si calcolano poi i punti D ed E di intersezione tra c ed r che sono i centri delle circonferenze da costruire.

RPT – Bisogna distinguere il caso (a) in cui il punto appartiene alla tangente o è esterno (b).

a) – Si conosce il Raggio della circonferenza la Tangente ed il Punto di tangenza.

Anche in questo caso le circonferenze sono due.

Dal punto di tangenza T si manda la perpendicolare (n) alla tangente stessa perchè i centri delle circonferenze si trovano su questa normale.

Poichè i centri devono trovarsi a distanza r dal punto di tangenza si traccia la circonferenza di centro T e raggio r e si calcolano i punti di intersezione tra questa e la normale che sono i centri delle circonferenze da trovare

b) - Si conosce il Raggio della circonferenza la Tangente ed il passaggio per un Punto.

Anche in questo caso le circonferenze sono due.

I centri delle circonferenze devono essere avere una distanza dalla retta r uguale al raggio della circonferenza e devono avere la stessa distanza dal punto P. Per tracciare la parallela p alla retta r si prende un punto N su questa, si manda la perpendicolare n e di prende su questa un punto E distante da r di un valore uguale al raggio delle circonferenza da tracciare.

Si manda da E la parallela alla retta r, poi centrando in P si traccia una circonferenza con raggio uguale al raggio della circonferenza da costruire. L'intersezione di questa circonferenza con la parallela si determinano i centri delle circonferenze richieste.

RTT – Si conosce il Raggio della circonferenza e Due tangenti ad essa.

In questo caso di circonferenze ce ne sono addirittura 4, ne costruiamo una.

Il centro della circonferenza si trova sulla bisettrice dell'angolo formato dalle due rette e deve avere una distanza dalla retta tangente uguale al valore del raggio per questo si traccia una parallela ad una delle due rette a tale distanza. Il centro si trova nel punto di intersezione della bisettrice con la retta parallela tracciata.

PPP – Circonferenza per Tre Punti non allineati.

Per costruire questa circonferenza esiste un apposito strumento di GeoGebra: Circonferenza – per tre punti.

La ricerca del centro di tale circonferenza corrisponde al problema di trovare il centro del cerchio circoscritto al triangolo determinato dai tre punti (Circocentro). Tale punto si trova nel punto di intersezione tra i tre assi dei lati del triangolo.

PPT – Bisogna distinguere il caso (a) in cui il punto appartiene alla tangente o è esterno ad essa (b).

a) Passaggio per Due Punti di cui uno è Punto di Tangenza.

Il centro della circonferenza deve essere equidistante dai due punti A e B e quindi deve trovarsi sull'asse del segmento AB, deve trovarsi sulla perpendicolare alla retta passante per B e quindi è il punto di intersezione tra queste due rette.

b) Passaggio per Due Punti generici e Tangente ad una Retta

Poichè AF deve essere una corda comune alle due circonferenze i due centri stanno sull'asse del segmento AF. I centri delle circonferenze devono essere equidistanti da un punto F e da una retta r, il luogo di punti che soddisfa questa proprietà è la parabola con fuoco F e direttrice r che può essere tracciata con uno strumento di GeoGebra (si potrebbe fare la stessa costruzione prendendo come fuoco il punto A).

I centri delle circonferenze sono nei punti di intersezione tra la parabola e l'asse del segmento.

Le circonferenze si tracciano con lo strumento Circonferenza - dati il centro e un punto.

Il procedimento descritto non è l'unico possibile, si possono usare anche strumenti di geometria elementare, senza l'uso di una parabola. Per chi fosse interessato si può trovare un esempio all'indirizzo: http://www.geogebratube.org/material/show/id/57774

In questo caso la parola 'elementare' non vuol dire che il metodo sia più semplice, infatti la facilità con cui GeoGebra traccia le parabole rende il metodo da noi indicato semplice ed elegante.

PTT – Bisogna distinguere il caso (a) in cui il punto appartiene ad una tangente o è esterno ad entrambe(b).

a) Si conoscono Due Rette Tangenti con Punto di Tangenza su una di queste.

Il centro della circonferenza deve essere equidistante dalle due rette r ed r' e quindi deve trovarsi sulla bisettrice dell'angolo, deve trovarsi sulla perpendicolare alla retta passante per P e quindi è il punto di intersezione tra queste due rette.

b) Si conoscono Due Rette Tangenti ed un Punto generico di passaggio.

Le circonferenze devono essere tangenti alle semirette che limitano l'angolo e quindi il loro centro sta sulla bisettrice dello stesso. I centri delle circonferenze devono essere equidistanti dal punto P e dalla retta r', il luogo di punti che soddisfa questa proprietà è la parabola con fuoco P e direttrice r che può essere tracciata con uno strumento di GeoGebra. I centri delle due circonferenze sono nei punti di intersezione tra la parabola e la bisettrice e le circonferenze si tracciano con lo strumento: Circonferenza – dati il centro e un punto.

Anche in questo caso per se non si vuole usare la parabola si può trovare un esempio di risoluzione all'indirizzo: http://www.geogebratube.org/material/show/id/57777

TTT – Circonferenza Tangente a tre rette.

Per costruire questa circonferenza esiste un apposito strumento di GeoGebra.

La ricerca del centro di tale circonferenza corrisponde al problema di trovare il centro del cerchio inscritto al triangolo determinato dalle tre rette (Incentro). Tale punto si trova nel punto di intersezione tra le tre bisettrici degli angoli del triangolo.

Le macchine che aiutano a ragionare

Un po' di storia

Fin dall'antichità gli uomini hanno cercato di utilizzare strumenti meccanici nelle loro costruzione geometriche e nei calcoli numerici, si potrebbe dire che uno sviluppo della geometria e della matematica come le conosciamo oggi non sarebbero state possibili senza l'uso di questi strumenti.

Fondamentali per la geometria sono stati l'uso della riga e del e compasso, un passo non da poco deve essere stato quello di essere riusciti a scoprire e a costruire l'angolo retto, da qui l'uso di uno strumento come la squadra, comoda per fare disegni ma non per misurare un angolo retto per la costruzione di un palazzo o il tracciamento di un campo.

Gli antichi egizi avevano scoperto l'esistenza di una famosa terna pitagorica (3, 4, 5) bastava una corda con dei nodi a distanze uguali, uno strumento quindi rudimentale ma utile, per costruire un triangolo rettangolo con lati proporzionali a tali numeri e ottenere quindi un angolo retto di grandi dimensioni.

Per il calcolo numerico basta citare l'abaco, molto simile ad un pallottoliere, usato dai popoli mediterranei e dagli indiani, un passo in avanti nel potenziamento delle possibilità di calcolo da parte degli uomini.

La costruzione di macchine matematiche è proseguita nell'arco di tutta la storia dell'uomo, perfezionandosi sempre più nei secoli con costruzione di compassi, pantografi e integrafi per risolvere i diversi tipi di problemi.

Molte di queste macchine, basate soprattutto su proprietà geometriche, sono state studiate dai più eminenti filosofi e matematici e di questo si trova traccia nei loro trattati. Un'ottima documentazione con la realizzazione di modelli reali di tali macchine si trova presso il laboratorio del dipartimento di matematica dell'università di Modena e Reggio Emilia.

Per un'ampia panoramica basta visitare il sito:

http://www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/_00lab.htm

Sono state costruite anche macchine per il calcolo numerico; la Pascalina ideata dal grande Blaise Pascal è una delle più famose alla quale sono seguiti molti altri modelli più o meno riusciti finchè si è arrivati verso la fine dell'800 ad una produzione di calcolatrici meccaniche che hanno avuto una certa fortuna.

Hanno avuto più fortuna, come era logico, le calcolatrici elettriche: si limitavano per lo più a fare le quattro operazioni razionali, tuttavia nel secolo scorso sono entrate di prepotenza negli uffici amministrativi, nelle delle aziende e nelle banche.

Le macchine matematiche sopra citate sono, per loro natura, imprecise ed ottenere delle misure con tre cifre significative è un risultato non sempre raggiungibile.

Le calcolatrici numeriche invece sono più precise ed infatti il salto di qualità decisivo per ottenere risultati più attendibili è stata l'introduzione del piano cartesiano e della geometria analitica.

La possibilità di fare della geometria con i numeri e quindi di manipolare oggetti geometrici applicando ad essi la precisione del calcolo numerico è stata la molla che ha permesso di realizzare i computer con capacità grafiche.

Il monitor è formato da tanti punti gestiti come se si trattasse di un piano cartesiano in cui la posizione di ognuno è determinata da una coppia di numeri. Come sappiamo una terna di numeri ordinati sono in grado di individuare ogni colore ottenuto come composizione di tre colori primari quindi anche la gestione del colore può essere fatta con il calcolo numerico. La velocità di elaborazione fa il resto per cui ci troviamo a disporre di un mezzo molto potente a basso prezzo ed accessibile a tutti.

Il computer possiede la funzionalità di tutte le altre macchine citate: esegue calcoli e permette di simulare graficamente i movimenti delle macchine geometriche reali per il tracciamento di curve teoriche e quindi può essere visto come la macchina 'assoluta' che simula tutte le altre.

Il computer permette anche di simulare molti esperimenti fisici, non può sostituirsi agli esperimenti fatti in laboratorio ma può fare da supporto per il controllo ed il calcolo e, per uso didattico, è un ausilio potente ed economico.

Il software di geometria dinamica

Un posto di rilievo nello studio della geometria è occupato dai software di geometria dinamica che permettono lo studio e la manipolazione di figure geometriche, la rappresentazione di funzioni algebriche ed analitiche e molte altre cose.

GeoGebra non è l'unico software di questo tipo ma uno dei migliori ed unisce ad una notevole potenza di calcolo una semplicità di utilizzo che lo rendono molto apprezzato per uso didattico.

Prima vi vedere qualche esempio di utilizzo didattico vogliamo fare alcune considerazioni sulla validità teorica e pratica di uno strumento di questo tipo.

Fin dai tempi antichi, quando gli uomini hanno sentito il bisogno di sistematizzare lo studio della geometria si sono scontrati con l'esigenza stabilire in modo rigoroso la validità di alcune proprietà malgrado l'imprecisione delle rappresentazioni. L'essere riusciti, fin dai tempi di Pitagora ed Euclide a costruire un modello logico che, ispirandosi a modelli grafici ne superasse i limiti e permettesse di stabilire con sicurezza alcune verità intuite graficamente fu una grande conquista del pensiero umano.

La 'correttezza' di una proprietà geometrica quindi non è garantita da una buona rappresentazione ma dalla correttezza formale del ragionamento rispetto a determinate regole assunte come assiomi.

Premettiamo che non è possibile fare rappresentazioni con una precisione assoluta ma solo modelli grafici approssimati; ad esempio i punti definiti in geometria, senza dimensione, non si possono rappresentare e così pure linee a spessore nullo come sono definite nei postulati.

La rappresentazione fatta con un software sul monitor di un computer è, dal punto di vista grafico, inferiore ad una buona rappresentazione ottenuta con strumenti di disegno ma è l'immagine grafica di calcoli effettuati dal computer con numeri in doppia precisione (15 cifre) quindi con una garanzia di precisione che rimane molto alta anche dopo ripetuti passaggi.

Ad esempio se si deve tracciare una retta passante per due punti ottenuti come intersezione di altri elementi, nel caso questi punti siano vicini, la precisione ottenibile con una rappresentazione grafica si degrada in modo significativo. Se però questa retta è calcolata con procedimenti numerici partendo da due punti di cui si conoscono le coordinate in doppia precisione la correttezza della sua equazione è garantita. La rappresentazione grafica fatta da un software di geometria dinamica quindi, pur essendo fatta su un piano con un numero limitato di punti, ha un elevato grado di precisione anche dopo molti passaggi.

Facciamo notare che se dobbiamo far passare una linea da un punto, quando il cursore si avvicina al punto in oggetto questo cambia forma, non è solo per comodità; noi dobbiamo essere sicuri che la linea passi proprio per tale punto definito con le coordinate in doppia precisione. Tale precisione ce la deve garantire la macchina, noi non possiamo ottenerla in modo visuale posizionando il cursore.

Le coordinate esatte, quando interessano, possono essere rilevate o impostate solo nella vista algebra, mentre sul grafico il punto viene rappresentato da un cerchietto per renderlo più evidente.

Per un uso didatticamente corretto queste problematiche dovrebbero essere presentate almeno nella scuola media superiore in modo che gli studenti abbiano la consapevolezza delle potenzialità e dei limiti dello strumento che usano.

GeoGebra nella didattica

Pur riconoscendo le grandi possibilità che presenta GeoGebra non è facile utilizzarlo nell'attività didattica, il rischio è quello di mostrare ogni tanto qualche bella costruzione fine a se stessa senza integrarlo come aiuto nella spiegazione o nello studio.

GeoGebra, caso più unico che raro, può essere usato in diversi ordini di studi dalla scuola elementare per fare semplici costruzioni geometriche, all'università per rappresentare funzioni implicite, studiare curve parametriche o risolvere equazioni differenziali.

Per evitare una eccessiva generalizzazione ed anche per restare in tema e parlare in modo specifico di GeoGebra coma 'macchina matematica' limitiamoci a fare qualche esempio finalizzato all'uso nella scuola media inferiore o superiore.

I fondamenti teorici della geometria euclidea devono essere argomento di studio nel biennio della scuola superiore, l'uso del computer e del software di geometria dinamica va presentato in modo corretto come modello grafico della geometria euclidea: con il ragionamento teorico si fanno le dimostrazioni, con il modello grafico si verificano le congetture e naturalmente si possono verificare graficamente le proprietà studiate teoricamente.

Il software di geometria dinamica rappresenta un ulteriore passo rispetto alla pura e semplice rappresentazione grafica; la possibilità di modificare la posizione degli oggetti liberi lasciandone inalterate altre permette di verificare che determinate proprietà (tesi) sono conseguenza di alcune precise impostazioni (ipotesi) nella costruzione.

Gli insegnanti di disegno e di geometria sanno bene che alcune linee, in un disegno tradizionale, possono essere tracciate in modo approssimativo, copiando dal libro o dalla lavagna senza capire bene; con GeoGebra questo non è possibile e se anche ci si prova, basta spostare un punto per smascherare l'inganno perchè le linee tracciate in modo non corretto non seguono la logica della costruzione. Prima di tracciare una retta dobbiamo decidere per quali punti farla passare o la sua direzione e questo, dal punto di vista didattico, ha una certa importanza.

Alcuni esempi di utilizzo scolstico:

- Verifica di un teorema o di una congettura

Si costruisce un triangolo con due lati uguali, basta prendere due punti A e B su una circonferenza di centro C, qualsiasi posizione sulla circonferenza occupino tali punti il triangolo risulta isoscele. Se noi uniamo i punti A e B non facciamo nulla perchè i triangoli risultino uguali, però lo sono sempre, per qualsiasi posizione di questi punti. E' come se facessimo centinaia di disegni e vediamo che questa proprietà è sempre vera!

- Studio e ricerca di un luogo geometrico

Data una circonferenza di diametro AB si traccia una corda AP con P punto generico della circonferenza. Si vuole vedere il luogo dei punti medi della corda AP, si può impostare per il punto P la proprietà Animazione attiva e per il punto M la proprietà Traccia attiva così si può vedere il 'percorso' che fa M quando P si muove sulla circonferenza.

- Risoluzione di problemi

Come esempio di risoluzione di un problema possiamo segnalare un indirizzo di GeoGebraTube in cui si trova un'applet per risolvere un tipico problema di geometria della scuola media basato sulla suddivisione di segmenti.

http://www.geogebratube.org/material/show/id/51465

Nella stessa applet è definito uno strumento definito dall'utente per dividere segmenti in parti uguali.

Possibilità di aggirare difficoltà di calcolo

Vogliamo qui focalizzare un aspetto abbastanza interessante di un uso che può essere fatto di un software come GeoGebra che si comporta come una vera e propria 'macchina matematica' che ricevendo dati in input restituisce risultati analitici e geometrici.

Ci sono alcuni problemi di geometria o di fisica che per essere risolti in modo numerico sono richieste delle nozioni di algebra che i ragazzi non possiedono.

- Misure di lunghezza

Vediamo una serie di problemi che si basano sull'applicazione del teorema di Talete e che possono essere risolti con l'uso di GeoGebra che ci solleva dalle difficoltà di calcolo e ci permette di concentrare l'attenzione sul ragionamento.

Per misurare l'altezza di una torre senza salire in cima ci si può mettere di fronte, adagiare sul terreno un paletto orizzonta-le (OE) di misura nota posto in orizzontale allineato con la base della torre stessa. Si punta con uno strumento ottico verso la sommità alla torre 'leggendo' su un palo verticale graduato a quale altezza si trova un punto allineato con lo spigolo in cima alla torre.

Si ottengono due triangoli simili OEF e OAD e si si applica la similitudine:

FE : OE = DA : OA

Se si riesce a misurare sul terreno la distanza OA si può calcolare DA altezza della torre, se invece si conosce l'altezza DA si può calcolare la sua distanza.

Si può fare la costruzione con GeoGebra impostando i dati misurati e 'leggendo' nella vista algebra la lunghezza dei segmenti.

Una considerazione molto importante è che il valore del rapporto tra i due cateti del triangolo rettangolo DA/OA dipende solo dall'angolo e questo ci permette di stabilire che non conta la misura di OE da cui è partito il ragionamento. Possiamo raddoppiare la misura di OE, raddoppia anche la misura di FE

Problema

Ci troviamo a 120 metri da un palazzo e vediamo lo spigolo più alto con un angolo di 23.83° rispetto all'orizzontale, calcolare la sua altezza.

Facciamo la seguente costruzione con GeoGebra

Definiamo i punti O=(0,0) e A=(120,0) e costruiamo con lo strumento: Angolo di data misura l'angolo AOB di 23.83°. (Puntare su A, poi su O e digitare nella linea di edit il valore dell'angolo).

Si traccia la semiretta OA' e la retta x = x(A) perpendicolare alla linea del terreno e si calcola il loro punto di intersezione B. L'ordinata di tale punto rappresenta l'altezza del palazzo.

Si possono fare alcune considerazioni

Se ci allontaniamo a 240 metri dalla casa l'angolo sotto cui vediamo il palazzo diminuisce, verifichiamo con GeoGebra che non è la metà, se ci portiamo a 60 metri è il doppio?.

L'angolo quindi dipende dal rapporto ma non ha un andamento lineare.

Problema - Misura dell'altezza di una montagna

Si riesce a vedere la cima di una montagna da un piano orizzontale, prendiamo due punti a distanza di 100 metri uno dall'altro. Facendo conto che i punti si trovino su una retta orizzontale, osserviamo la cima sotto due angoli diversi di 24.59° dal punto più vicino alla montagna e di 21.53° da quello più lontano.

Usiamo gli assi cartesiani e definiamo due punti sull'asse delle ascisse A = (0,0) e B = (100, 0)

Con lo strumento Angolo di data misura definiamo gli angoli indicati dal testo e tracciamo le due semirette di cui possiamo calcolare il punto di intersezione V

L'ordinata di V rappresenta l'altezza della montagna misurata rispetto al piano della retta AB

La precisione del calcolo dipende dalla precisione delle due misure angolari ed in modo meno marcato anche dalla precisione con cui si è considerato la distanza tra A e B e da come si è riusciti a prendere AB perfettamente orizzontale.

Con L'uso di GeoGebra abbiamo risolto con semplici procedimenti geometrici un problema che richiede la conoscenza della trigonometria.

- Somma di due vettori

I vettori sono dei segmenti orientati molto utili in fisica sui quali si possono eseguire operazioni di somma e differenza. Si tratta di costruire parallelogrammi di cui si deve calcolare la lunghezza della diagonale, la costruzione geometrica è semplice ma il calcolo numerico richiede la trigonometria. Senza queste nozioni ci si deve limitare al caso particolare di vettori perpendicolari o formanti tra loro angoli notevoli.

Utilizzando GeoGebra si possono definire due slider per controllare le lunghezze dei vettori ed uno per impostare l'angolo di inclinazione tra i due vettori.

Con GeoGebra si calcola il vettore risultante di cui è possibile conoscere il modulo l'angolo di inclinazione.

Modificando gli slider è possibile impostare valori diversi e studiare i valori della risultante per angoli particolari di 0°, 180° ecc.

Gestione dei colori con GeoGebra

Quando si costruisce un oggetto mediante gli usuali strumenti di GeoGebra a questo viene assegnato un colore preimpostato che viene visto come proprietà dell'oggetto stesso. L'utente poi può cambiare il colore predefinito accedendo al menu delle proprietà dell'oggetto o mediante un comando GeoGebraScript.

Per facilitare la scelta dei colori degli oggetti geometrici rappresentati, nella finestra Preferenze/Colore viene presentata una tavolozza di colori che possono essere selezionati in modo visuale.

Nella colonna a sinistra ci sono alcune tonalità di grigio, ed i colori primari, a destra c'è una matrice di colori per una scelta rapida di colori di uso più frequente. Per ognuno di questi colori viene mostrato un anteprima ed indicate le coordinate colore nel sistema RGB.

Per la scelta di colori che non fanno parte di questa tavolozza occorre indicarne le coordinate colore. Teniamo presente che tra i colori che si possono generare assegnando direttamente le coordinate non tutti sono gradevoli quindi, se non si ha una conoscenza specifica, è consigliabile usare i colori della tavolozza.

Alcuni colori possono essere immessi, sotto forma di stringhe di testo, nei comandi digitati nella linea di inserimento, si tratta di una comoda funzionalità usata per esempio nell'inserimento di testi.

Per un elenco di questi colori, espressi con nomi in italiano, vedere all'indirizzo:

http://wiki.geogebra.org/it/Comando_ImpColore

Un elenco molto più completo per i nomi in inglese all'indirizzo:

http://wiki.geogebra.org/it/Riferimenti:Colori

Scelta dei colori attraverso le coordinate dinamiche

In questo caso le coordinate di un colore sono espresse da numeri compresi tra 0 ed 1 e possono essere assegnati anche mediante l'uso di variabili. Per questo possono essere impostati colori che variabili controllati da slider; molto comodo nelle animazioni.

Si usano numeri decimali proporzionali proporzionali alle coordinate colore.

Le corrispondenze tra i numeri indicati nella tavolozza e numeri da indicare nei colori dinamici sono indicate a lato	0	51	102	153	204	255
	0	0.2	0.4	0.6	0.8	1

Quindi il colore (204, 51, 255) della tavolozza corrisponde al colore (0.8, 0.2, 1) dei parametri indicati come colori dinamici.  Vedere il foglio GeoGebra scaricabile all'indirizzo:

http://www.geogebratube.org/material/show/id/62767

Per assegnare le coordinate dinamiche del colore di un oggetto si interviene nella finestra a comparsa per la definizione delle proprietà del''oggetto stesso alla voce: Preferenze/Avanzate

Nelle linee di editor relative ai vari colori possono essere inseriti nomi di variabili numeriche e logiche quindi il colore può essere modificato a determinate condizioni.

Nel caso di superfici da colorare è prevista anche un valore per impostare il valore dell'opacità

Mostriamo a titolo di esempio come può essere impostato il controllo del colore di un oggetto geometrico usando delle variabili controllate da slider.

Si definisce un oggetto geometrico, nel nostro caso un quadrato.

Si definiscono tre slider nelle variabili r, g, b. Tali slider devono variare tra 0 ed 1 con un incremento di 0.01

Si clicca con il tasto destro ul quadrato e alla voce Avanzate/Colori dinamici si inseriscono i nomi delle variabili, come mostrato nell'immagine sottostante.

I colori del quadrato sono controllabili direttamente dagli slider.

Contrasti tra colori complementari

Il contrasto creato dall'accostamento di due complementari esalta la luminosità, questo perchè ogni colore della coppia non ha nessun componente in comune.

Nel rettangolo a sinistra i colori dinamici sono impostati come nel caso precedente mentre per ottenere il colore complementare del rettangolo a destra si usano le stesse variabili (r, g, b) inserendo nelle linee di edit dei colori dinamici i valori (1 - r). (1, - g), (1 – b)

Colori intermedi

La gestione del colore si riconduce ad un calcolo matematico, il colore ha delle coordinate numeriche e la sua variazione deriva da operazioni matematiche fatte su tali coordinate.

Per realizzare l'applet della immagine sottostante che può essere scaricata all'indirizzo:

http://www.geogebratube.org/material/show/id/64176

si dichiarano tre slider nelle variabili a, b, c che variano nell'intervallo [0.1]

Analizziamo la prima barra il cui colore varia tra il Rosso (1, 0, 0) e Verde (0, 1, 0)

La componente del Blu è sempre 0 mentre le componenti del rosso e del verde devono avere valori compresi tra 0 ed 1 dipendenti dal parametro c.

Per c = 0 si ottengono le coordinate del Rosso puro, per c = 1 le coordinate del Verde passando da un colore all'altro gradatamente al variare di tale parametro, infatti all'aumentare del valore di c diminuisce la componente del rosso ed aumenta quella del Verde.

L'effetto che si ottiene viene evidenziato facendo variare il valore dello slider.

La stessa logica è applicata nella seconda barra il cui colore varia tra il Rosso ed il Blu, si fa variare lo slider nella variabile b che interviene sulle componenti di Rosso e Blu nel seguente modo:

Rosso: 1 – b      Verde: 0      Blu: b

Nella terza barra il colore varia tra Verde e Blu, si fa variare lo slider nella variabile a nel seguente modo:

Rosso: 0       Verde: 1 – a        Blu: a

L'opacità e sempre uguale ad 1 per rendere i colori più vivaci.

Saturazione dei colori

Abbiamo visto che la massima saturazione dei un colore è sinonimo di purezza quindi nel caso di un colori primario si ottiene quando non c'è traccia degli altri.

Pertanto le coordinate sono:

Massima saturazione per il Rosso: coordinate colore (255, 0, 0)

quindi coordinate dinamiche: (1, 0, 0)

Allo stesso modo

Massima saturazione per il Verde: (0, 255, 0) oppure (0, 1, 0)

Massima saturazione per il blu: (0, 0, 255) oppure (0, 0, 1)

Il colore a saturazione nulla è il Grigio in cui le tre coordinate colore sono uguali.

Particolari tipi di grigio sono il Nero: (0, 0, 0) ed il Bianco (255, 255, 255) oppure (1, 1, 1) in coordinate dinamiche.

Per costruire una applet che metta in evidenza la variazione di saturazione di colore quindi bisogna fare delle scelte e stabilire che tonalità di grigio si vuole raggiungere.

Nel file scaricabile all'indirizzo: http://www.geogebratube.org/material/show/id/64443

Sono stati dichiarati tre slider nelle variabili a, b, c una per ogni colore e sono costruiti in modo da ottenere la massima saturazione per la variabile nulla e minima per la variabile è 0.8.

Analizziamo il caso del rosso, controllato dalla variabile c, gli altri sono uguali, cambia solo la variabile di controllo. Come si è detto tali valori sono il risultato di una scelta che ora motiviamo.

Nel caso c = 0 le coordinate colore sono: (1, 0, 0) se si aumenta c, per esempio c = 0.2 le coordinate colore diventano: (0.98, 0.2, 0.2) quindi aumentano leggermente le componenti di Verde e Blu ma rimane una prevalenza di Rosso fino ad arrivare a c = 0.8 in cui le coordinate diventano: (0.92, 0.8, 0.8) in cui rimane una leggera prevalenza di rosso.

Se si fa in modo che diventino uguali si ottiene un grigio chiarissimo che in alcuni schermi si confonde con il bianco e così pure se si diminuisce la componente del rosso troppo rapidamente il colore si sbiadisce in fretta.

Abbiamo fatto queste scelte per fare in modo che la barra rossa restasse rossa, e così pure le altre, insomma nel caso del colore si devono fare anche delle scelte di buon gusto, non basta la matematica e soprattutto l'effetto visivo che è soggettivo, non ha un andamento lineare con i parametri.

Triangolo dei colori

Un colore è determinato da una terna di numeri quindi sembrerebbe logico fare una rappresentazio-ne nello spazio. Tale rappresentazione però, disponendo di una superficie piana come il monitor del computer finirebbe per creare grossi inconvenienti.

Vogliamo quindi tentare di rappresentare il maggior numero di colori combinando i tre colori primari, per questo costruiamo un triangolo che in qualche modo richiama il diagramma di cromaticità per il modello di colore RGB.

Le coordinate dei colori sono determinate dalla posizione del punto stesso all'interno del triangolo.

L'applet descritta di seguito è scaricabile all'indirizzo:

http://www.geogebratube.org/material/show/id/64710

Per comodità impostiamo la rappresentazione su un piano cartesiano disponendo i colori nel modo indicato nella figura sottostante.

Coordinate di R = (0, 1) e coordinate di B = (1, 0) il punto P viene mantenuto interno al triangolo dichiarandolo come P = PuntoIn[Tria] dove Tria è il triangolo RGB

Quando P si trova sul punto R ha ordinata 1 e quando si trova su G ha ordinata 0 quindi assumiamo l'ordinata di P come coordinata dinamica del colore Rosso, per lo stesso ragionamento l'ascissa di P determina la coordinata dinamica del Blu nella rappresentazione RGB. Sono determinate in questo modo le coordinate r = y(P) e b = x(P) della terna (r, g, b) che determina il colore, manca la coordinata g.

Quando P si muove sul segmento RG la sua ascissa è nulla quindi la componente Blu è assente, allo stesso modo succede che quando si muove sul segmento GB è nulla la sua ordinata che determina la componente Rossa, in questo modo si ottengono tutti i colori intermedi come sono stati descritti nell'esempio visto.

Per fare in modo che quando P si trova sul segmento RB la componente Verde sia nulla basta prendere g = 1 – r – b, in tal modo quando P si muove sul segmento RB vengono generati tutti i colori intermedi tra i due. Questa proprietà si basa sul fatto che, essendo RGB rettangolo isoscele con cateti 1 la somma delle distanze di P dai cateti è sempre uguale all'unità e quindi anche la somma delle sua coordinate è 1.

Quando il punto si trova all'interno del triangolo vengono generate le combinazioni del tre colori primari.

I colori del quadrato a sinistra quindi sono così determinati:

I colori complementari sono ottenuti sottraendo al valore 1 le relative coordinate

Le convenzioni che abbiamo preso ci hanno permesso di risolvere in modo brillante il calcolo dei colori ed anche dei relativi complementari ma purtroppo la semplificazione è un po' ardita, la realtà è più complicata: risultato ci sono dei colori mal rappresentati.

Facendo delle semplici prove si vede per esempio che il giallo non viene mai rappresentato.

Se portiamo P nelle vicinanze del punto medio del segmento RG viene rappresentato il Marrone che è un giallo molto scuro, in compenso il Giallo viene rappresentato come colore complementare se portiamo P nelle vicinanze del punto B. Questo significa che per rappresentare il Giallo occorre dare al Verde e al Rosso coordinate prossime ad 1 ed al Blu coordinata prossima allo zero, ma questo vuol dire che la somma delle coordinate del colore deve essere maggiore di uno mentre noi nel nostro modello abbiamo che la somma delle tre coordinate è 1.

L'eccessiva semplificazione del modello ci ha portato a delle limitazioni, si tratta di limitazioni non facili da superare che mostrano come il trattamento del colore non è cosa semplice.

Gestione delle immagini da parte del computer

Modello per lo schermo RGB

Questo modello rappresenta il modo secondo il quale il computer 'vede' i colori, sappiamo che RGB sta per Red (rosso) Green (verde) e Blue (blu). Ciascun pixel dello schermo può essere 'acceso' come una piccola lampadina da un fascio di luce. Questo raggio può essere di una sfumatura di rosso, verde o blu in diverse gradazioni.

Secondo il modello RGB, ciascuna sfumatura di ciascuno dei 3 colori (rosso, verde e blu) e' rappresentata da un numero che va da 0 a 255. Per esempio, il colore nero e' rappresentato dal valore RGB '0 0 0' (R = 0, G = 0 e B = 0) mentre il colore bianco è rappresentato dal valore RGB '255 255 255' (R = 255 G = 255 e B = 255). In questo modo il modello RGB può rappresentare più di 16 milioni di colori, si tratta di un modello additivo, perchè controlla fasci di luce.

Mostriamo come esempio le coordinate RGB di alcuni colori, (rosso, verde, blu)

Nella prima linea abbiamo un verde saturo ma non alla sua massima luminosità, aggiungendo altri colori diminuisce la saturazione, se le coordinate sono uguali abbiamo dei grigi la cui luminosità aumenta all’aumentare delle coordinate.

Come si vede dall’ultima linea, all’aumentare delle coordinate il colore aumenta la sua luminosità ma, se le coordinate aumentano tutte e tre, diminuisce la sua saturazione (la sua purezza) infatti è come se si aggiungesse un grigio sempre più chiaro la cui intensità però aumenta.

Analisi di una immagine

Consideriamo una im-magine di cui prelevi-amo ed analizziamo un particolare: l’occhio.

Si vede che è formato da punti, ad ognuno dei quali corrispondo-no le tre coordinate di colore.

Ogni singolo pixel è autonomo slegato dagli altri elementi e caratterizzato dalla sua posizione nella matrice e dal suo colore. Questo colore è individuato da tre valori che indicano l'intensità di ogni singolo elemento. Se i punti sono sufficientemente piccoli il nostro sistema visivo percepisce l'insieme come una figura continua

 

Nell'immagine sono indicati i tre valori nel sistema RGB.

In questo modo nella memoria del computer possiamo conservare dei numeri che permettono di ricostruire l'immagine sul monitor. I numeri che caratterizzano i singoli pixel possono essere 3 o 4 e dipendono dallo spazio cromatico scelto per rappresentare l'immagine.

Ogni singolo pixel contiene una informazione molto limitata ma la matrice nel suo complesso ha delle informazioni più importanti legati all'andamento dei pixel contigui che formano il disegno o la sfumatura. I pixel contenuti in un quadratino di 5*5 a 300 dpi sono circa 350000 ed in un normale foglio A4 sono circa 9 milioni (i dati sono indicativi)

Modello per la stampante CMYK

Nel sistema CMY, Ciano, Magenta e Giallo (Cyan, Magenta, Yellow ) sono i colori complementari di Rosso, Verde e Blu. Quando vengono usati come filtri per sottrarre colore dalla luce bianca, questi colori sono chiamati primarie sottrattive

Nei dispositivi di stampa a colori infatti l’inchiostro colorato funziona come un filtro che sottrae alcune frequenze dal bianco del foglio

Usando questo modello per ottenere una superficie nera dobbiamo evitare che rifletta tutti i primari (rosso, verde e blu), e quindi colorarla di ciano, magenta e giallo alla massima intensità.

Nei dispositivi di stampa a colori si preferisce aggiungere ai tre inchiostri CMY del vero e proprio inchiostro nero (detto colore K) perchè mettendo insieme C, M e Y non si ottiene un nero puro poiché i tre inchiostri non sono filtri perfetti ed inoltre l’inchiostro nero costa meno di quelli colorati

Quindi, anziché usare parti uguali di C, M e Y si usa una tonalità di nero (blacK) e si ha così il cosiddetto modello CMYK

Gamut di monitor e stampante

Non ci si può aspettare che una periferica: monitor o stampante sia in grado di riprodurre tutti i colori del diagramma CIE dei colori reali che abbiamo presentato nel primo paragrafo di questo capitolo.

Ogni monitor, ed ogni stampante è in grado di riprodurre determinati colori che sono un sottoinsieme più o meno grande dello spazio CIE e, visto che le due periferiche usano una la sintesi additiva e l'altra sottrattiva, i loro gamut hanno caratteristiche diverse.

A titolo puramente indicativo sono stati indicati i gamut di un monitor e di una stampante generici, la loro ampiezza è determinata anche dalla qualità della periferica. Questo significa che ogni periferica è in grado di riprodurre solo i colori all'interno di questi gamut.

Come si vede i gamut hanno anche forma diversa, questo vuol dire che ci sono colori rappresentabili sul monitor e non riproducibili sulla stampante e viceversa.

La stampante per esempio è in grado di rappresentare dei gialli che il monitor non riproduce, questo in compenso di solito rappresenta una gamma di azzurri più ampia di quella della stampante.

Ovviamente questo si ripercuote anche sulla composizione dei colori che possono essere riprodotti in modo differente.

Gli unici colori che sono riprodotti allo stesso modo da monitor e stampante sono quelli che si trovano all'interno dell'intersezione dei due grafici.

Il fatto quindi che un certo colore non sia riprodotto in modo identico non dipende tanto dalla qualità delle periferiche quanto da un comportamento diverso di cristalli fluorescenti e inchiostri da stampa. Qualcosa si può fare ma queste diversità sono insite nelle caratteristiche dei mezzi.

Il Sistema Computer

Diamo una descrizione sommaria di cosa avviene nel sistema di rappresentazione delle immagini.

Memoria video

Una immagine, suddivisa in pixel, si trova registrata, con tre matrici di numeri, una per ogni colore, in una memoria video generalmente incorporata nell’adattatore video, separata dalla memoria principale e collegata al processore che vi trasferisce i dati.

Vi sono diverse tecnologie per la realizzazione di un monitor, questo deve riprodurre ogni singolo pixel prelevato dalla memoria video e rappresentarlo come puntino colorato in una precisa posizione.

L’insieme di questi puntini (pixel) formano l’immagine che viene aggiornata un certo numero di volte al secondo. Questa tecnica permette di visualizzare oggetti in movimento perché sfrutta la caratteristica della visione umana di permanenza dell’immagine, quindi se la frequenza di aggiornamento è abbastanza elevata noi percepiamo le successive immagini statiche come immagini in movimento continuo.

Con i dati prelevati dalla memoria video si imposta l’intensità dei fasci di elettroni che, seguendo il percorso visto, controllano, con varie tecnologie, la rappresentazione di punti ciascuno composto dalla giusta quantità di colori primari che ne determinano il colore.

La velocità con cui viene ridisegnato lo schermo è una caratteristica molto importante e viene chiamata frequenza di scansione (refresh).

Una persistenza elevata fa sì che la luminosità impieghi un lungo periodo di tempo prima di diminuire, al contrario dì quanto accade con una persistenza bassa. Se la luminosità diminuisce lentamente, si ha lo svantaggio che le immagini in movimento possono lasciare una scia durante lo spostamento ma il vantaggio di una bassa velocità dì ridisegno dello schermo.

I sistemi video dei PC attuali tendono ad avere una persistenza relativamente bassa e velocità di ridisegno superiori a 70 Hz.

Come il computer gestisce le immagini

Per usare una immagine in una applicazione questa deve essere rappresentata in memoria con dei codici numerici seguendo un formato standard.

Un'immagine è un'area di forma rettangolare variamente colorata. Per rappresentarla occorre suddividere l'area in una griglia di punti colorati, più fine sarà la griglia più fluida sarà la percezione dell'immagine da parte dell'occhio umano.

I punti non hanno dimensione nulla, la rappresentazione di una immagine comporta la digitalizzazione dell'immagine reale con conseguente perdita di qualità dal passaggio dalla forma analogica di rappresentazione ad una forma discreta.

L'operazione tramite la quale si suddivide un'immagine in punti è detta campionamento, i punti colorati sono detti pixel e la dimensione dei pixel determina la risoluzione dell'immagine.

La risoluzione è misurata in dpi (letto di-pi-ai sta per Dots Per Inch, punti per pollice). Maggiore è la risoluzione migliore è la qualità dell'immagine perché maggiore è il numero di punti catturati, tuttavia è anche maggiore è il numero di punti quindi maggiore è la dimensione del file risultante (l'occupazione di memoria, quadruplica con il raddoppiare della risoluzione).

Per le applicazioni multimediali fruibili via web il discorso della dimensione delle immagini è molto importante perché maggiore sarà il tempo di scaricamento via internet del medesimo.

Viene definito pixel aspect ratio la proporzione fra larghezza e altezza dei pixel, tale proporzione spesso è pari ad uno, cioè i pixel sono quadrati.

Considerare un'immagine come una semplice griglia di pixel è riduttivo, infatti ad ognuno di questi va assegnato un colore. L'assegnamento dei colori ai vari pixel (quantizzazione cromatica). Non è un'operazione da poco, perchè va riprodotta un'ampia gamma di colori che, come sappiamo, viene realizzata come sintesi additiva a partire dai tre colori elementari Rosso, Verde e Blu (RGB) ciascuno con la sua giusta intensità luminosa.

La scala di intensità di ciascuna componente non può essere indicata con numeri che vanno 0, che indica l'assenza di quel colore, a 255 che rappresenta il livello massimo di intensità. Ogni colore quindi può essere rappresentato da tre numeri compresi fra 0 e 255; cioè da tre numeri di 8 bit, in totale occorrono 24 bit per ogni pixel.

Per ridurre la dimensione del file che rappresenta l'immagine si può agire sulla risoluzione con una griglia di quadratini più grandi o sulla risoluzione cromatica, riducendo i livelli possibili per ciascun colore primario in entrambi i casi con effetti negativi sulla accuratezza della rappresentazione.

Un metodo alternativo consiste nel definire una tavolozza (palette) di colori predefiniti, ad esempio 256, ciascuno identificato da un numero, l'uso di questa tecnica (lookup table) consente di ridurre drasticamente la dimensione del file.

La maggior parte dei programmi gestisce i tre seguenti formati di rappresentazione ciascuno contenente tre informazioni:

La notazione esadecimale viene usata dal linguaggio html nella realizzazione di siti web, per indicare il colore di sfondo di pagine e tabelle o il colore del testo.

Si noti che al numero 184, corrisponde il numero b8 in notazione esadecimale.

Il nero (0 0 0) è indicato con #000000 ed il bianco 255 255 255, viene indicato in esadcimale #ffffff quindi vengono usate per il bianco e per il nero. Il vantaggio pratico della rappresentazione esadecimale rispetto a quella in base dieci è che nella prima tutti i colori sono rappresentati da sei cifre, mentre nella seconda possono servire anche 9 cifre.

Formato	esempio
RGB	0 184 168	Intensità delle singole componenti espresse con numeri decimali compresi tra 0 e 255
Hex triplet	#00b8a8	Le intensità sono espresse in numeri esadecimali, dopo il diesis ogni coppia di cifre rappresenta uno dei tre colori primari. Nel sistema esadecimale due cifre permettono di rappresentare numeri tra 0 e 255
HSV:	174 100 72	I tre numeri (compresi tra 0 e 255) rappresentano i valori di Colore, Saturazione Luminosità

Nel caso di l'immagini in bianco e nero occorre distinguere immagine B/W con solo due elementi e immagine a livelli di grigio. Nel primo caso la palette contiene solo due elementi: il bianco ed il nero, quindi basta un solo bit per identificare il colore di un pixel. Nel secondo sono previste un certo numero di sfumature intermedie fra i due (256 elementi in tutto).

Spazio di colore sRGB

La maggior parte dei computer usano uno spazio di colore RGB ridotto che viene chiamato sRGB questo sistema è stato introdotto da HP e Microsoft perché approssima molto bene la gamma cromatica (il gamut) delle più comuni periferiche digitali (monitor, stampanti ecc.)

Sostenuto da due colossi del genere è divenuto poi lo standard per la visualizzazione delle immagini nel web anche se include poco più del 30% dei colori visibili con dei seri limiti sulle tonalità di azzurro e verde.

Altri spazi come AdobeRGB sono più completi e visualizzano meglio verde scuro e blu per basse luminosità e anche giallo e rosso alle alte luminosità. Lo spazio sRGB comunque è un buon compromesso con una qualità accettabile che ha permesso una diffusione eccezionale di periferiche economiche accessibili ad una grande quantità di utenti.

Il web e la maggioranza delle stampanti ad uso privato utilizzano quindi lo spazio colori sRGB, solo nel caso di una stampa professionale viene supportato il profilo AdobeRGB e probabilmente solo in futuro si andrà verso un adeguamento ad uno spazio più ampio da parte di tutte le tecnologie digitali.

Adobe RGB, proprio a causa della sua gamma più estesa rispetto a sRGB, non può essere riprodotto correttamente dalla maggior parte dei monitor ed è più apprezzabile per il suo effetto cromatico solo su carta stampata.

Lo spazio colore sRGB, con una gamma più ristretta rispetto ad Adobe RGB, permette di ottenere immagini più sature ma con minori sfumature, apparentemente più "belle" nella visione a monitor, l’altro invece permette un maggior numero di sfumature, e rappresenta con maggiore precisione i colori e le tonalità dell'incarnato (il colore della pelle nelle fotografie).

Nel grafico a lato sono messi a confronto i due spazi: Adobe RGB ed sRGB e si vede che il primo copre un'area molto più ampia (in particolare nel verde) rispetto al secondo.

Si possono visualizzare i colori primari rappresentati da GeoGebra, all'indirizzo:
http://www.geogebratube.org/material/show/id/62767