Condizioni che individuano una circonferenza

Procedimenti di costruzione

Gli elementi che definiscono una circonferenza in un piano sono Centro e Raggio ma una circonferenza può essere individuata anche quando si conoscono dei punti per cui passa o delle rette ad essa tangenti. Ci si domanda: quanti punti bisogna conoscere, oppure quante tangenti e, se si conoscono alcuni punti e alcune tangenti, quanti devono essere?

Il problema va affrontato nei seguenti termini: per individuare una circonferenza sono necessarie 3 condizioni ed in questa logica la conoscenza del centro corrisponde a due condizioni, il raggio, il passaggio per un punto o una tangente corrispondono ciascuno ad una condizione. Se di una circonferenza conosciamo una tangente ed il punto di tangenza abbiamo due condizioni.

Dovendo costruire una circonferenza con GeoGebra cerchiamo ora di analizzare tutte le possibilità che che ci sono, tenendo presente che talvolta di circonferenze ce ne sono più di una.

Per comodità abbreviamo le condizioni descritte con le parole: Centro, Raggio, Punto, Tangente che si possono ulteriormente abbreviare con le sigle C, R, P, T.

Conoscendo il centro abbiamo i casi: CR CP CT

Conoscendo il raggio abbiamo i casi: RPP RTT RPT

Nel caso di soli punti e tangenti: PPP PPT PTT TTT

Dobbiamo poi distinguere nel caso in cui c'è Punto e Tangente se il punto è punto di tangenza o è un punto di passaggio esterno alla retta tangente.

Passiamo in rassegna tutti i casi possibili in modo sistematico tralasciando per i puù semplici di mostrare le costruzioni.

CR – Si conosce il Centro ed il Raggio della circonferenza da costruire.

Per questa costruzione esiste un apposito strumento: Circonferenza – dati centro e raggio

Il raggio può essere indicato numericamente nella linea di edit della finestra a comparsa oppure, se si usa lo strumento Compasso la misura del raggio si indica cliccando su un segmento noto.

CP – Si conosce il Centro ed un Punto per cui deve passare la circonferenza.

Anche in questo caso esiste un apposito strumento: Circonferenza – dato il centro e un punto per tracciare la circonferenza richiesta.

CT – Si conosce il Cengtro ed una Retta a cui la circonferenza deve essere tangente.

Si manda dal centro la perpendicolare alla retta, si calcola il punto di intersezione tra le due rette che è il punto di tangenza per cui la circonferenza deve passare e si usa quindi lo strumento descritto nel caso visto sopra.

RPP – Si conosce il Raggio ed i Due Punti per cui la circonferenza deve passare.

In questo caso le circonferenze sono due.

Dati due punti A e B, si sa che il centro della circonferenza si deve trovare sull'asse del segmento AB perchè deve avere la stessa distanza da questi. Centrando in uno di questi, nel nostro caso A, si traccia la circonferenza c di centro r, che è il luogo dei punti che distano r da a. Si calcolano poi i punti D ed E di intersezione tra c ed r che sono i centri delle circonferenze da costruire.

RPT – Bisogna distinguere il caso (a) in cui il punto appartiene alla tangente o è esterno (b).

a) – Si conosce il Raggio della circonferenza la Tangente ed il Punto di tangenza.

Anche in questo caso le circonferenze sono due.

Dal punto di tangenza T si manda la perpendicolare (n) alla tangente stessa perchè i centri delle circonferenze si trovano su questa normale.

Poichè i centri devono trovarsi a distanza r dal punto di tangenza si traccia la circonferenza di centro T e raggio r e si calcolano i punti di intersezione tra questa e la normale che sono i centri delle circonferenze da trovare

b) - Si conosce il Raggio della circonferenza la Tangente ed il passaggio per un Punto.

Anche in questo caso le circonferenze sono due.

I centri delle circonferenze devono essere avere una distanza dalla retta r uguale al raggio della circonferenza e devono avere la stessa distanza dal punto P. Per tracciare la parallela p alla retta r si prende un punto N su questa, si manda la perpendicolare n e di prende su questa un punto E distante da r di un valore uguale al raggio delle circonferenza da tracciare.

Si manda da E la parallela alla retta r, poi centrando in P si traccia una circonferenza con raggio uguale al raggio della circonferenza da costruire. L'intersezione di questa circonferenza con la parallela si determinano i centri delle circonferenze richieste.

RTT – Si conosce il Raggio della circonferenza e Due tangenti ad essa.

In questo caso di circonferenze ce ne sono addirittura 4, ne costruiamo una.

Il centro della circonferenza si trova sulla bisettrice dell'angolo formato dalle due rette e deve avere una distanza dalla retta tangente uguale al valore del raggio per questo si traccia una parallela ad una delle due rette a tale distanza. Il centro si trova nel punto di intersezione della bisettrice con la retta parallela tracciata.

PPP – Circonferenza per Tre Punti non allineati.

Per costruire questa circonferenza esiste un apposito strumento di GeoGebra: Circonferenza – per tre punti.

La ricerca del centro di tale circonferenza corrisponde al problema di trovare il centro del cerchio circoscritto al triangolo determinato dai tre punti (Circocentro). Tale punto si trova nel punto di intersezione tra i tre assi dei lati del triangolo.

PPT – Bisogna distinguere il caso (a) in cui il punto appartiene alla tangente o è esterno ad essa (b).

a) Passaggio per Due Punti di cui uno è Punto di Tangenza.

Il centro della circonferenza deve essere equidistante dai due punti A e B e quindi deve trovarsi sull'asse del segmento AB, deve trovarsi sulla perpendicolare alla retta passante per B e quindi è il punto di intersezione tra queste due rette.

b) Passaggio per Due Punti generici e Tangente ad una Retta

Poichè AF deve essere una corda comune alle due circonferenze i due centri stanno sull'asse del segmento AF. I centri delle circonferenze devono essere equidistanti da un punto F e da una retta r, il luogo di punti che soddisfa questa proprietà è la parabola con fuoco F e direttrice r che può essere tracciata con uno strumento di GeoGebra (si potrebbe fare la stessa costruzione prendendo come fuoco il punto A).

I centri delle circonferenze sono nei punti di intersezione tra la parabola e l'asse del segmento.

Le circonferenze si tracciano con lo strumento Circonferenza - dati il centro e un punto.

Il procedimento descritto non è l'unico possibile, si possono usare anche strumenti di geometria elementare, senza l'uso di una parabola. Per chi fosse interessato si può trovare un esempio all'indirizzo: http://www.geogebratube.org/material/show/id/57774

In questo caso la parola 'elementare' non vuol dire che il metodo sia più semplice, infatti la facilità con cui GeoGebra traccia le parabole rende il metodo da noi indicato semplice ed elegante.

PTT – Bisogna distinguere il caso (a) in cui il punto appartiene ad una tangente o è esterno ad entrambe(b).

a) Si conoscono Due Rette Tangenti con Punto di Tangenza su una di queste.

Il centro della circonferenza deve essere equidistante dalle due rette r ed r' e quindi deve trovarsi sulla bisettrice dell'angolo, deve trovarsi sulla perpendicolare alla retta passante per P e quindi è il punto di intersezione tra queste due rette.

b) Si conoscono Due Rette Tangenti ed un Punto generico di passaggio.

Le circonferenze devono essere tangenti alle semirette che limitano l'angolo e quindi il loro centro sta sulla bisettrice dello stesso. I centri delle circonferenze devono essere equidistanti dal punto P e dalla retta r', il luogo di punti che soddisfa questa proprietà è la parabola con fuoco P e direttrice r che può essere tracciata con uno strumento di GeoGebra. I centri delle due circonferenze sono nei punti di intersezione tra la parabola e la bisettrice e le circonferenze si tracciano con lo strumento: Circonferenza – dati il centro e un punto.

Anche in questo caso per se non si vuole usare la parabola si può trovare un esempio di risoluzione all'indirizzo: http://www.geogebratube.org/material/show/id/57777

TTT – Circonferenza Tangente a tre rette.

Per costruire questa circonferenza esiste un apposito strumento di GeoGebra.

La ricerca del centro di tale circonferenza corrisponde al problema di trovare il centro del cerchio inscritto al triangolo determinato dalle tre rette (Incentro). Tale punto si trova nel punto di intersezione tra le tre bisettrici degli angoli del triangolo.