Trascriviamo la formula generale di una trasformazione lineare che dà luogo ad una Trasformazione Affine di figure geometriche del piano e che, come vedremo gode di importanti proprietà.
Forma matriciale:
Forma cartesiana:
Può essere schematizzata nella forma x' = x A + b
con A - Matrice di Trasformazione
b - Vettore di Traslazione
La trasformazione è interamente determinata dai coefficienti a, b, c, d, p, q e le sue proprietà dipendono da questi valori. Iniziamo col dire che perchè la trasformazione non sia degenere occorre che il determinante di A sia diverso da zero.
Proprietà
Le trasformazioni, che si chiamano lineari perchè tutti i termini sono di primo grado, godono di alcune proprietà che le rendono adatte a trattare le trasformazioni geometriche.
- A rette corrispondono rette, infatti se tre punti sono allineati lo sono anche i trasformati
- A rette parallele corrispondono rette parallele
- A rette incidenti corrispondono rette incidenti (non si conservano gli angoli tra i segmenti)
Se si considerano due poligoni corrispondenti o due figure in generale, il rapporto delle loro aree è costante e viene detto Rapporto di Affinità. Dette S ed S' le loro superfici
- Il rapporto tra le aree di figure geometriche trasformate è: S'/S=Det(A)
- Se det(A) > 0 si ha una affinità diretta (l'ordine delle lettere in un poligono e nel suo trasformato resta lo stesso)
- Se Det(A) < 0 si inverte l'ordine delle lettere
Da quanto detto possiamo dire che nel caso delle Isometrie abbiamo che il determinante della matrice di trasformazione è Det(A) = |1|.
Nelle proprietà appena enunciate, chi fosse interessato alle dimostrazione deve consultare testi specialistici, non hanno un ruolo i valori di p e q che determinano la traslazione, infatti questa cambia solo la 'posizione' delle figure nel piano e non la loro 'forma'.
Applet GeoGebra per verificare le proprietà
1 – Trasformazione lineare con i dati modificabili nel foglio di calcolo
Usiamo una figura geometrica formata accostando un triangolo ad un rettangolo in cui è facile individuare gli elementi trasformati che sono un triangolo ad un parallelogrammo.
Predisponiamo tre aree del foglio di calcolo per inserire i dati:
Una matrice F in cui inserire le coordinate dei vertici
Una matrice A (2 x 2) di trasformazione
Una matrice t (1 x 2) per inserire il vettore di traslazione
Inserendo i diversi valori nelle apposite aree del foglio di calcolo si possono esplorare le diverse trasformazioni.
# - Si possono ottenere come casi particolari tutte le trasformazioni già viste
# - Se si vuole fare una traslazione basta avere in A la matrice identica.
# - Se si considera una matrice con determinante nullo si vede che la figura si riduce ad un segmento, infatti tutti i punti trasformati sono allineati (deve avere area nulla).
# - Un caso particolare interessante in cui si ha [1 0] nella prima riga e [0 0] nella seconda, con traslazione nulla abbiamo la proiezione della figura sull'asse delle ascisse. Se [1 0] si trova nella seconda riga la proiezione è sull'asse delle ordinate.
Il file per scoprire le varie proprietà si può trovare su GeoGebraTube all'indirizzo:
In questo caso la matrice di trasformazione ed il vettore traslazione possono essere modificati mediante slider.
La matrice di trasformazione viene assegnate dal comando:
M = {{a, c}, {b, d}}
mentre il vettore e la matrice di trasformazione:
t= {p, q} e T = {t, t, t}
Le coordinate dei vertici sono modificabili dal foglio di calcolo.
Il file per scoprire le varie proprietà si può trovare su GeoGebraTube all'indirizzo:
In questo caso i vertici del triangolo possono essere spostati trascinandoli con il mouse e la matrice di trasformazione viene modificata intervenendo con slider.
F = {{x(A), y(A)}, {x(B), y(B)}, {x(C), y(C)}}
mentre gli altri elementi possono essere definiti come nel caso precedente.
Il file si può trovare su GeoGebraTube all'indirizzo:
4 – Ricerca della trasformazione che porta un triangolo in un altro.
I parametri necessari per fare una trasformazione lineare nel piano sono sei: i quattro elementi della matrice di trasformazione (a, b, c, d) ed i due del vettore di trasformazione (p, q). Quindi dati due triangoli generici esiste sempre una trasformazione lineare che porta uno nell'altro infatti, poiché sono interessati tre punti, sono sei le condizioni che si devono imporre per trovare la trasformazione (due condizioni per ogni punto).
Si tratta di risolvere un sistema di sei equazioni in sei incognite nelle variabili a, b, c, d, p, q.
Per impostare il sistema usiamo la forma cartesiana ed eseguiamo le sei sostituzioni.
Il sistema diventa scritto in forma matriciale diventa: X' = X * M
le equazioni da risolvere sono:
Questo schema viene usato per generare le matrici usate nei calcoli
Calcolo della matrice inversa: M' = Inversa[M]
Calcolo della matrice dei risultati X = Trasposta[X'] M'
Il file si può trovare su GeoGebraTube all'indirizzo:
Similitudini
Quando, in una trasformazione ad angoli uguali corrispondono angoli uguali le figure conservano la loro forma, cambiando solamente la dimensione e quindi si parla di Similitudine.
Perchè siano conservati gli angoli occorre che i vettori in cui sono trasformati i versori fondamentali e1 ed e2 siano perpendicolari tra loro.
In tal caso le matrici prendono la forma:
La condizione si può scrivere anche nella forma:
Similitudine diretta: Det(A) = a2 + c2
Similitudine diretta: Det(A) = a2 + c2
Similitudine inversa: Det(A) = -a2 - c2
Simmetria rispetto ad un punto.
Vediamo come è possibile procedere per trovare le formule di trasformazione che operano la simmetria rispetto ad un punto P = (x0, y0)
Partendo dalle formule della geometria analitica per trovare il unto medio di due punti
In questo caso il punto P deve essere punto medio tra X ed il suo trasformato X' quindi ricavando x' e y' si ha:
x' = 2x0
- x e y' = 2y0
- y
Che scritte in forma matriciale diventa:
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