martedì 4 febbraio 2014

Tassellazione 1


Si parla di tassellazione (o pavimentazione) di un piano quando si riesce a ricoprire questo con una serie infinita di tasselli (o piastrelle) senza lasciare spazi vuoti.
Le tassellazioni sono usate fin dall'antichità per ricoprire e decorare superfici ottenendo degli ottimi effetti ed in alcune culture sono diventati una vera e proprie arte come i mosaici moreschi.

Lo studio della tassellazione del piano ha, dal punto di vista geometrico, un rilevante valore formativo: aiuta ad individuare e riconoscere la proprietà delle figure geometriche, a riconoscere alcuni invarianti per isometrie ad analizzare e risolvere alcuni tipi di problemi.
Per raggiungere certi obiettivi scolastici dobbiamo limitare il campo di studio a tassellazioni semplici di cui non sia tropo difficile studiare le proprietà geometriche lasciando agli artisti la creazione di effetti particolari.
Un ulteriore aspetto formativo riguarda l'uso di un software come GeoGebra per realizzare le composizioni usando le trasformazioni nel piano per evitare di disegnare una piastrella per volta come si dovrebbe fare con la matita.

Definizione:
Tutti gli elementi della tassellazione devono essere uguali, ogni elemento deve aderire perfettamente a quello vicino senza lasciare neanche il più piccolo spazio e non ci deve essere sovrapposizione tra gli elementi.
Perchè si possa fare una tassellazione occorre che i vertici delle figure vicine si dispongano in modo che la somma degli angoli sia di 360°.

Tassellazione con poligoni
Cominciamo quindi dai poligoni regolari che sono ampiamente usati nella piastrellazione dei pavimenti delle nostre case: triangolo equilatero, rettangolo o quadrato ed esagono regolare.

Come si vede dalle figura nel caso di triangoli e quadrati le disposizioni possono essere di vario tipo, basta far scorrere le file orizzontali, nel caso degli esagono invece la disposizione è obbligata.

Due fasci di rette parallele equidistanti tra loro determinano quadrati o parallelogrammi che formano una tassellazione molto semplice del piano.

Possiamo quindi stabilire che nel caso di parallelogrammi una tassellazione del piano è sempre possibile. Le forme di base appena viste sono semplici ed intuitive ed ogni volta che possiamo ricondurci a queste avremo la possibilità di fare una tassellazione

Caso del triangolo qualunque
La tassellazione è sempre possibile nel caso del triangolo perchè accostando due triangoli in modo opportuno si ottiene un parallelogrammo.
Dato un triangolo qualsiasi ABC, se si considera il punto A' simmetrico di A rispetto al punto medio M del lato BC si può costruire un triangolo BCA' che accostato ad ABC forma un parallelogrammo.
Si può anche dire che A'B'C' è simmetrico di ABC secondo una simmetria centrale di centro M in cui B' simmetrico di B rispetto ad M si sovrappone a C e C' simmetrico di C si sovrappone a B. Osserviamo che, nel caso di piastrelle per una pavimentazione, una faccia rifinita a l'altra grezza e quindi occorre avere due tipi di piastrelle perchè, pur essendo di uguale forma, risultano una capovolta rispetto all'altra.

Costruzione con GeoGebra
Per tassellare il piano con dei triangoli si parte da tre punti liberi A, B, C e si costruisce il triangolo T di vertici ABC, questi sono gli unici punti liberi della costruzione.
Poi, con una simmetria centrale, si costruisce il triangolo T' simmetrico di T rispetto al punto medio M del lato BC ottenendo un parallelogrammo che può essere replicato quante volte si vuole.
Definiamo una lista T1 = {T, T'} che ci permette di riferirsi al parallelogrammo come ad un unico oggetto. I parallelogrammi vicini sono ottenuti a partire da T1 con delle traslazioni.
Usando u = B – A come vettore di traslazione si ottiene il parallelogrammo accostato a destra ed usando v = C – A quello accostato sopra.
Per costruire il parallelogrammo a destra si usa il comando:
T2 = Trasla[T1, u]
Si può procedere con traslazioni successive usando anche lo strumento Traslazione della barra degli strumenti e costruire diversi parallelogrammi fino a ricoprire la superficie desiderata seguendo lo schema mostrato sotto.

 
T1' = Trasla[T1, v] T2' = Trasla[T2, v]
T3 = Trasla[T2, u] T3' = Trasla[T3, v]


Uso delle liste dinamiche
Di seguito vedremo come sia possibile creare delle liste dinamiche per eseguire la tassellazione con un solo comando.
Il primo parallelogrammo a destra si ottiene da T1 traslando di u (meglio dire 1 * u)
Il secondo di un vettore 2*u, il terzo 3*u e così di seguito

Tutte queste operazioni possono essere fatte con un unico comando che raggruppa diverse istruzioni separate tra loro da virgole:
Successione[ <Espressione>, <Variabile>, <Valore iniziale>, <Valore finale> ]

Nel nostro caso il comando divente:
Tk = Successione[Trasla[T1, Vettore[k u]], k, 0, 4]
<Espressione> è il comando che va eseguito un certo numero di volte: Trasla[T1, Vettore[k u]]
<varibile> è la lettera k che deve prendere tutti i valori compresi tra 0 e 4 e quindi traccia 5 parallelogrammi, il primo sovrapposto a quello iniziale in modo che resti evidenziato.

Il passo successivo è quello di traslare verticalmente rispetto al vettore v la 'striscia' costruita con il comando Tk, si tratta semplicemente di applicare a questa un comando analogo:
Th = Successione[Trasla[Tk, Vettore[h v]], h, 1, 3]
questa volta la variabile h parte da 1 perchè altrimenti sarebbe stata replicata la prima striscia senza alcun motivo.
Notiamo che se facciamo partire da 1 anche la variabile k il modulo originale rimane isolato, invitiamo il lettore a modificare il listato intervenendo sulle proprietà di Tk.

I comandi visti possono anche essere nidificati quindi, partendo dal modulo iniziale, possiamo creare una lista dinamica che costruisce tutta la tassellazione.
Il file si può trovare su:

Invece di replicare un numero fisso di volte il modulo iniziale abbiamo definito due slider nelle variabili m ed n definite solo per numeri interi.
Comando usato:
Tkh = Successione[
 Trasla[Successione[Trasla[T0, Vettore[k u]], k, 0, m], Vettore[h v]],
  h, 0, n]
Osserviamo che i caratteri azzurri corrispondono al comando usato per costruire Tk già incontrato e quindi costruisce una striscia orizzontale, unica differenza la presenza della variablie m controllata dallo slider. Quindi m determina il numero dei moduli replicati orizzontalmente.
I caratteri sottolineati rappresentano il comando che esegue le traslazioni verticali, il numero di tali comandi è controllato dalla variabile n che determina il numero di volte che la striscia orizzontale viene replicata.
Osserviamo che i valori di m ed n rappresentano il numero di volte che il parallelogrammo viene replicato, se si vuole che rappresenti il numero di parallelogrammi rappresentati il listato va modificato mettendo (m-1) al posto di m e (n-1) al posto di n.
Il triangolino in basso a sinistra è stato lasciato evidenziato, i suoi vertici sono gli unici punti liberi e modificando la loro posizione si modifica tutta la tassellazione.


Caso del quadrilatero generico
Dato un quadrilatero generico è sempre possibile tassellare il piano.
Dato un generico quadrilatero ABCD si costruisce il suo simmetrico rispetto al punto medio di un lato, si ottiene un esagono con i lati opposti uguali e paralleli.
Con tale esagono è possibile tassellare il piano, basta eseguire delle traslazioni di ABCD e di ADB'C' come mostrato in figura ed i lati che sono uguali e paralleli possono essere fatti combaciare.
Ovviamente la cosa è possibile anche se il quadrilatero è un trapezio, se questo è quadrilatero si può evitare anche di costruire il suo simmetrico e si procede come è stato fatto per il triangolo.

Costruzione con GeoGebra
Con la stessa tecnica è possibile ottenere una figura tassellante anche partendo da un generico quadrilatero, bisogna costruire il simmetrico rispetto al punto medio di uno dei due lati adiacenti all'angolo opposto all'angolo interno maggiore dell'angolo piatto.
Il file si può trovare su:

Sono stati lasciati ben evidenziati i vettori di traslazione che possono essere nascosti in seguito ed i valori di m ed n questa volta rappresentano il numero di tasselli che vengono mostrati.
Spostando i vertici del quadrilatero origine ABCD si possono ottenere diverse forme, si può anche fare in modo che il quadrilatero diventi concavo.

Caso dei pentagoni ed esagoni convessi
La tassellazione con pentagoni regolari non è possibile perchè l'angolo interno del pentagono è di 108° e, se accostiamo tre pentagoni per il loro vertice si forma una angolo di 324° mentre per avere una tassellazione come l'abbiamo definita l'angolo deve essere di 360°.
Il caso della tassellazione con pentagoni non regolari è possibile ed è anche interessante, si conoscono solo 14 tipi di pentagoni che risolvano il problema ed allo stato attuale non esiste la certezza che siano gli unici.
Per gli esagoni regolari, come si è visto la tassellazione è molto semplice, per esagoni con i lati opposti uguali e paralleli abbiamo visto il caso di due quadrilateri accostati, per il caso generico ne sono stati individuate tre tipi.

Per chi volesse avere informazioni sull'argomento consigliamo:

Si può dimostrare che per un numero superiore di lati la tassellazione non è possibile per poligoni convessi. Nel caso si prendano in considerazione poligoni concavi invece ci sono un numero infinito di possibilità.

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