lunedì 17 febbraio 2014

Tassellazione 2


Tassellazioni che derivano dal Quadrato


Abbiamo visto che il quadrato permette una tassellazione molto facile che è sempre stata usata nella piastellazione dei pavimenti delle nostre case. Partendo da questa figura base è possibile ricavare una grande varietà di figure geometriche tassellabili.

Iniziamo da una figura geometrica facilmente costruibile partendo da una base assimilabile ad un foglio a quadretti e costruiamo una tassellazione che viene chiamata Osso facendo riferimento alla forma del suo modulo base.
In questo caso conviene rappresentare gli assi cartesiani e la griglia di cui il modulo occupa esattamente un quadrato di lato 4 x 4.

Tracciamo un poligono concavo di 12 lati con la forma rappresentata nella figura che chiameremo P1 facendo bene attenzione che le coordinate dei punti abbiano valori interi.
Gli altri elementi della tassellazione sono ottenuti per traslazione e quindi vanno definiti due vettori di lunghezza 4 perpendicolari tra loro con lo stesso orientamento dei lati del quadrato che contiene il modulo.

In seguito conviene nascondere i punti dei vertici e, partendo da P1 tracciare i poligono traslati seguendo lo schema rappresentato nella immagine sottostante.
Lo schema del comando per ottenere una traslazione è:
Trasla[ <Oggetto>, <Vettore> ]
Per mantenere uno schema logico ordinato assegniamo anche le etichette ai poligono traslati.

P2 = Trasla[P1, u] P3 = Trasla[P2, u] P4 = Trasla[P3, u]

Q1 = Trasla[P1, v]    Q2 = Trasla[P2, v]
Q3 = Trasla[P3, v]    Q4 = Trasla[P4, v]
R1 = Trasla[Q1, v]    R2 = Trasla[Q2, v]
R3 = Trasla[Q3, v]    R4 = Trasla[Q4, v]
E così di seguito per rappresentare quanti moduli si desidera.

Visto che si tratta di una serie di traslazioni dello stesso poligono è possibile costruire la matrice di oggetti mediante due liste nidificate come è stato fatto nel post precedente

Il comando che costruisce le liste è:
Tass = Successione[Trasla[Successione[Trasla[P1, k u], k, 0, 5],
 h v], h, 0, 3]


Si possono definire due slider nelle variabili m ed n definite per numeri naturali e costruire le liste dinamiche in modo che si possa variare il numero di poligoni rappresentati.

Il comando diventa:
Tass = Successione[Trasla[Successione[Trasla[P1, k u], k, 0, m-1],
 h v], h, 0, n-1]
Questi procedimenti possono essere applicati a qualsiasi modulo contenuto in un quadrato, la particolarità di questo schema è che le porzio i di piano lasciate libere dai poligoni hanno la stessa forma dei poligoni stessi.
Si può trovare il file all'indirizzo: 

Un'altra forma geometrica con questa proprietà è la Croce Romana che presentiamo qui anche se non è derivata dal quadrato

Il modulo base è formato da una croce disegnata con l'aiuto dei quadretti della griglia, anche qui è importante sincerarsi che le coordinate dei punti siano numeri interi.
Definiamo poi i vettori u e v come indicato in figura.

Se si eseguono delle traslazioni del modulo base con i suddetti vettori si ottiene la costruzione mostrata nella figura sottostante in cui lo spazio lasciato libero dal modulo base è uguale al modulo stesso.

Le croci traslate sono ottenute con i comandi:
M2 = Trasla[M1, u]    M1' = Trasla[M1, v]    M2' = Trasla[M2, u]

Seguendo lo schema già visto possiamo definire una lista dinamica che costruisca una tassellazione di dimensione variabile.

Rportiamo il comando usato per la lista anche se non presenta differenze sostanziali da quelli visti.

Successione[Trasla[Successione[Trasla[M1, k u], k, 0, m - 1],
 h v], h, 0, n - 1]
Si può trovare il file all'indirizzo:


Un altro procedimento per costruire una tassellazione che, partendo da un modulo quadrato si può ottenere un poligono tale che, accostando le tessere, non si formino spazi vuoti.
Si tratta di uno schema di costruzione abbastanza semplice che lascia molte possibilità di dare sfogo alla fantasia perchè, al contrario dei precedenti è uno schema libero.

Si traccia un quadrato DEFG ed i soliti due vettori perpendicolari con la stessa lunghezza e direzione dei lati del quadrato.
Si prendono dei punti H, I ed J che non appartengono ai lati del quadrato e si costruiscono i punti H', I', J' traslati di u e v.
H' = Trasla[H, u]     I' = Trasla[I, v]     J' = Trasla[J,v]
H, I, J sono gli unici punti liberi della costruzione, possono essere spostati determinando forme diverse. I tre punti traslati li seguono nel movimento e le tessere che si formano restano sempre perfettamente accostabili. Naturalmente possono essere presi più di tre punti, sempre con la stessa logica e la bellezza delle figure dipende solo dalla fantasia di chi le costruisce.

Si definisce il poligono DIJEH'FJ'I'GH che può essere replicato per traslazioni successive determinando la tassellazione.
Anche in questo caso si possono costruire delle liste dinamiche in modo del tutto analogo al caso precedente.

Abbiamo lasciato in evidenza i tre punti liberi di colore rosso in modo che intervenendo su questi si può cambiare la forma delle tessere.

Per una tassellazione di questo tipo risulta gradevole l'uso di due colori che si alternano come in una scacchiera, però si può imporre un solo colore per tutti gli elementi di un a lista per cui si devono costruire più liste di colori diversi.

Il comando per la costruzione di una lista può essere costruito con la sintassi:
Successione[<Espressione>, <Variabile>, <Valore iniziale>,
 <Valore finale>, <Incremento>]
in cui l'ultima opzione che riguarda l'incremento da dare alla variabile è opzionale e può esere tralasciato se l'incremento è 1 come capita nella maggior parte dei casi.
Per costruire l'immagine sottostante può essere usato il comando:
L = Successione[Trasla[P1, k u], k, 0, 6,2]

In questo caso infatti i valori assegnati a k sono 0, 2, 4, 6 e pertanto gli elementi che verrebbero rappresentati da traslazioni per k dispari sono lasciate vuote.
Per occupare tali spazi il comando diventerebbe:
L = Successione[Trasla[P1, k u], k, 1, 6,2]
Ancora incremento 2 ma partendo da 1 quindi tutti i numeri dispari minori di 6

Mostriamo il modulo iniziale e le tre tessere adiacenti che devono essere replicate per traslazioni successive fino a formare la tassellazione.

La coppia di numeri rappresentata sulle tessere rappresentano il valore iniziale che devono avere le variabili k (la prima cifra) e h (la seconda cifra) per rappresentare i colori alternati.

I comandi usati per costruire le liste sono:
L00 = Successione[Trasla[Successione[Trasla[P1, k u], k, 0, m-1,2],
 h v], h, 0, n-1,2]
L10 = Successione[Trasla[Successione[Trasla[P1, k u], k, 1, m-1,2],
 h v], h, 0, n-1,2]
L01 = Successione[Trasla[Successione[Trasla[P1, k u], k, 0, m-1,2],
 h v], h, 1, n-1,2]
L11 = Successione[Trasla[Successione[Trasla[P1, k u], k, 1, m-1,2],
 h v], h, 1, n-1,2]

Ricordiamo, per chi avesse difficoltà a seguire questi ragionamenti che le tessere possono esere costruite una alla volta per semplice traslazione e poi ad ugnuna può venire assegnato un colore intervenendo sulle proprietà dell'oggetto.
Si può trovare il file all'indirizzo:

Un altro modulo a base quadrata è il seguente in cui, partendo da ABCD abbiamo un solo punto libero: E. Partendo da questo costruiamo in sequenza i punti F, G ed H con successive rotazioni in modo che al poligono M1 possa essere accostato, nella sua parte superiore un poligono uguale ruotato di 90° i cui profili coincidono.
Il comando per eseguire la rotazione ha la seguente sintassi
Ruota[ <Oggetto>, <Angolo>, <Punto> ]
in cui si indica l'oggetto da ruotare specificando l'angolo di cui deve essere ruotato e il punto rispetto a cui fare la rotazione.

Partendo da E per la costruzione dei punti si usano in sequenza i comandi:
F = Ruta[E, 90°, D]   G = Ruota[F, 90°, C]   H = Ruota[G, 90°, B]

Il modulo da replicare è così costruito:

Il modulo M10 è ottenuto ruotando di 90° M00 rispetto al vertice C in alto a destra del quadrato iniziale, e così di seguito anche gli altri, poi vengono assegnati i colori desiderati.
M10 = Ruta[M00, 90°, C]     M11 = Ruota[M10, 90°, C]
M01 = Ruota[M11, 90°, C]

La tassellazione può essere fatta procedendo a traslare un elemento per volta oppure con quattro liste che, rispetto a quelle viste sopra, hanno una caratteristica diversa perchè non devono replicare un solo elemento ma elementi uguali ma orientati in modo diverso.

Riportiamo i comandi:
L00 = Successione[Trasla[Successione[Trasla[M00, k u], k, 0, m - 1, 2], h v], h, 0, n - 1, 2]
L01 = Successione[Trasla[Successione[Trasla[M01, k u], k, 0, m - 1, 2], h v], h, 0, n - 1, 2]
L10 = Successione[Trasla[Successione[Trasla[M10, k u], k, 0, m - 1, 2], h v], h, 0, n - 1, 2]
L11 = Successione[Trasla[Successione[Trasla[M11, k u], k, 0, m - 1, 2], h v], h, 0, n - 1, 2]

In questo caso le variabili k e h partono sempre da 0 ed hanno un incremento di due unità e per fare in modo che i quattro elementi vengano sempre replicati in modo completo si può fare in modo che anche m ed n siano sempre pari e quindi anche per queste viene dato un incremento 2.
 Si può trovare il file all'indirizzo:


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