Matematica e Didattica: marzo 2014

Visualizzazione di un Numero Intero mediante un Vettore

Per rappresentare un numero intero relativo possiamo usare la Retta dei Numeri evidenziata dall'asse delle ascisse del piano cartesiano.

Si usa un vettore che parte dall'origine ed ha lunghezza uguale al valore del numero stesso, l'uso del vettore è comodo perchè viene mostrata con chiarezza il significato del segno.

Si definisce uno slider nella variabile a che può assumere solo valori interi.

Coordinate di O = (0, 1) coordinate di A = (a, 1).

Si traccia poi il vettore OA con l'apposito strumento o con u = Vettore[O, A].

Se si vuole che vengano generati numeri casuali si può generare il valore a con il comando:

a = CasualeTra[-20, 20]

Il resto dell'applet non viene modificato. Per generare un nuovo numero senza dover far ripartire l'applet si può premere il tasto funzione F9 che aggiorna la costruzione.

Si può predisporre un pulsante associato ad un comando GeoGebraScript per determinare l'aggiornamento della costruzione.

Sintassi del comando : AggiornaCostruzione[]

Somma di due numeri interi relativi

Con la stessa logica è possibile rappresentare la somma di due numeri interi relativi, bisogna definire due slider nelle variabili a e b che determinano la rappresentazione di due vettori rappresentati entrambi a partire dall'origine.

Per una maggior chiarezza della rappresentazione conviene associare ad ogni vettore un colore diverso.

Oa = (0, 1) A = (a, 1) u = Vettore[Oa, A] azzurro

Ob = (0, 2) B = (b, 2) v = Vettore[Ob, B] rosso

Il vettore somma di colore nero si costruisce con i comandi:

s = a + b Os = (0, -1) A = (s, -1) w = Vettore[Os, S]

Possiamo sostituire agli slider un pulsante per aggiornare la costruzione ed ottenere un nuovo schema casuale ogni volta che si clicca.

Rappresentare con una scala

Si può schematizzare il ragionamento usando una scala invece della retta dei numeri, una scala in cui sommando un numero positivo si sale e sommandone uno negativo si scende.

Per ottenere un grafico a scala si usa la Funzione matematica floor(x) che rappresenta la parte intera di un numero.
Tracciamento della funzione: y ≤ 0.5floor(x + 0.5) + 0.5

L'equazione è molto simile all'equazione della retta y = 0.5 (x - 0.5) + 0.5 dove l'ordinata viene troncata all'intero più vicino e quindi si ottiene un grafico a scala. La retta è traslata verso l'alto di 0.5 per fare posto ai numeri scritti sotto ai gradini della scala.

Nessuna novità per quanto riguarda la somma dei numeri relativi, occorre posizionare i valori interi sotto la scala usando una lista.

Lista1 = Successione[Testo[t, (t - 0.2, 0.5t)], t, -12, 12]

I numeri interi che vanno da -12 a 12, vengono posizionati sotto il gradino nel punto (t - 0.2, 0.5 t) quindi lungo la retta y = 0.5 x appena sotto l'ordinata (t – 0.2)

Il punto di inizio è il punto A = (a, 0.7 + a / 2) che, come si vede ha l'ascissa uguale ad a mentre l'ordinata è 0.7 + a/2 per seguire la scala (0.5 * a + 0.7) ed essere staccata di 0.2 rispetto ai gradini.

Lo stesso ragionamento per il punto Z = (z, 0.7 + z / 2) che è il risultato della somma.

Il punto P rosso che simula i k passi in salita ha coordinate:
P = (a + k, 0.7 + (a + k) / 2)

Il punto Q rosso che simula i k passi in discesa ha coordinate:
Q = (a - k, 0.7 + (a - k) / 2)

Il file *.ggb dell'applet descritta sopra può essere trovato su GeoGebraTube all'indirizzo:

http://www.geogebratube.org/material/show/id/98790

Animazione della somma di due numeri

Prima di presentare l'applet in questione vale la pena di vedere due classici procedimenti per modificare la posizione e la lunghezza di un vettore in modo “continuo”, dove la parola virgolettata non si riferisce alla nozione di continuità come viene intesa in geometria ma semplicemente ad uno spostamento graduale da una posizione all'altra dello schermo che il nostro occhio percepisce come movimento. I procedimenti si basano tutti sull'animazione di uno slider

Spostamento di un punto lungo un segmento

La posizione di P è determinata dalla formula: P = A + t (B – A) con t Compreso tra 0 ed 1

B – A rappresenta un vettore con la lunghezza e la direzione del segmento AB

Se questo vettore viene moltiplicato per un numero minore di 1 si ottiene un vettore di uguale direzione e lunghezza minore (PA) che parte dal punto A (A+ ..) e quindi al variare della variabile t il punto P si sposta sul segmento AB.

Per t = 0 il punto P coincide con A, per t = 1 Coincide con B, impostando sulla variabile t Animazione attiva con l'opzione Crescente P si muove da A a B.

Da quanto detto si può notare che non è nemmeno necessario tracciare il segmento perchè la costruzione si basa solo sui suoi estremi.

Se si definisce il vettore u = Vettore[A,P] l'animazione suddetta provoca l'allungamento graduale del vettore.

Traslazione di un vettore lungo un segmento

Per traslare un vettore in modo che la sua origine si muova su un segmento AB si usa il procedimento visto per spostare il punto sul segmento e sul vettore u si fa la traslazione:

v = Trasla[u, P]

Vediamo come è possibile fare una animazione composta da azioni diverse che mostri il procedimento grafico che porta alla costruzione del vettore risultante.

Nell'immagine sottostante viene mostrato lo schema del file in cui sono visualizzati le etichette degli estremi dei vettori.

La variabile t dello slider che controlla le diverse azioni è compresa tra 0 e 2

Prima azione - 0 ≤ t ≤ 1

Portiamo a coincidere l'origine di v con la punta del vettore u

Si ha un punto P che percorre il segmento che unisce A con Ob:

P = Ob + t (A – Ob) con 0 ≤ t ≤ 1

Si definisce v' traslazione di v con origine in P: v' = Trasla[v, P]

Quando t = 1 il punto P si sovrappone ad A ed il vettore v' unisce i due punti AB'

Il punto B' ha ascissa s = a + b dove s è la somma dei due numeri a e b.

Quindi: B' = (s, 2) e Oa = (0, 2) sono gli estremi del vettore risultante.

Seconda azione - 1 ≤ t ≤ 2

Costruiamo il vettore uv che unisce il punto Oa con il punto Q

Quando t = 1 il punto Q deve essere sovrapposto ad Oa e per t = 2 sovrapposto a B'.

Secondo quanto detto sopra il valore della variabile t che moltiplica B' – Oa dovrebbe essere rispettivamente 0 ed 1, per ottenere questo basta scrivere la formula nel seguente modo:

Q = Oa + (t - 1) (B' – Oa)

uv = Vettore[Oa, Q]

Teniamo presente che gli elementi definiti vanno mostrayi solamente quando servono per cui il punto P ed il vettore v' vanno mostrati solo per t ≤ 1 e questo si ottiene scrivendo la suddetta condizione come proprietà di v' (Avanzate/Condizione per mostrare l'oggetto)

Se poi si vuole che il vettore azzurro tratteggiato rimanga rappresentato nella posizione in cui ha origine Oa bisogna definire un vettore v'' = Vettore[A, B'] che venga rappresentato per t > 1

Il vettore uv va rappresentato per 1 ≤ t ≤ 2

Terza azione - 2 ≤ t ≤ 3

Anche in questo caso si deve definire un vettore uv' = Vettore[Oa, B'] su cui poi fare la traslazione che porti il vettore (nero) uv'' ottenuto come traslazione di uv' a coincidere con w.