sabato 19 ottobre 2013

Suddivisione di un segmento in parti uguali



La divisione di un segmento in parti uguali è un problema classico risolvibile con riga e compasso.
Molto conosciuta la soluzione grafica che utilizza il teorema di Talete.
Dovendo dividere il segmento AB in 5 parti, basta tracciare una semiretta con origine in A e riportare su questa 5 segmenti uguali di lunghezza qualsiasi.
Si unisce l'ultimo punto con B e si tracciano le parallele a questa retta dagli altri punti.


Otteniamo un fascio di rette che suddividono il segmento AB in 5 parti uguali
La costruzione può essere fatta per un numero qualsiasi di suddivisioni.

GeoGebra, che tratta gli oggetti geometrici anche da un punto di vista algebrico, ci consente di sfruttare questa proprietà e ci permette di risolvere questo problema in modo brillante.

Se si considerano due punti A e B in una qualsiasi posizione del piano la differenza B-A viene vista come se fosse un vettore AB (di origine A e direzione AB) applicato nell'origine.


Il vettore non viene rappresentato ma viene definito un punto C tale che il segmento CO (con O origine degli assi) è uguale e parallelo ad AB. Il fatto che CO non venga rappresentato come vedremo ci farà comodo, infatti se serve lo possiamo rappresentare noi.

Questo vettore però lo possiamo usare, infatti se digitiamo nella linea di inserimento:
D = (B-A) / 3
otteniamo un punto D posto ad una distanza di 1/3.

Notiamo che (B-A) come tutti i vettori ha una direzione ben precisa, infatti se scriviamo
D = (A-B) / 3
il punto D ha la stessa distanza da O ma è posto dalla parte opposta di O rispetto a C.

Se poi trasliamo il vettore DO portandolo ad avere la sua origine in A
E = A + (B-A) / 3
il punto E si va a posizionare sul segmento AB ad una distanza che è 1/3 della misura di AB.  Il fatto che tutti questi vettori non siano rappresentati permette una rappresentazione più chiara.

Se scriviamo:
F = A + 2 (B-A) / 3
definiamo un punto F che si trova ad una distanza da A doppia di EA e con questo abbiamo ottenuto due punti che dividono il segmento in tre parti uguali.

Se vogliamo dividere il segmento AB in cinque punti uguali possiamo dare in sequenza i comandi che seguono:
C = A + (B-A) /5       D = A + 2 (B-A) /5
E = A + 3 (B-A) /5    F = A + 4 (B-A) /5


Oppure dare un comando collettivo definendo una lista:
Successione[A + k (B - A) / 5, k, 1, 4]
Non occorre tracciare gli assi, i punti vengono rappresentati in funzione della posizione di A e di B.

Per chi volesse fare un passo successivo è possibile definire uno strumento che faccia lo stesso lavoro per un numero qualsiasi di suddivisioni.
Un esempio di questo tipo si può trovare all'indirizzo:

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