Tassellazioni che
derivano dal Quadrato
Abbiamo visto che il
quadrato permette una tassellazione molto facile che è sempre stata
usata nella piastellazione dei pavimenti delle nostre case. Partendo
da questa figura base è possibile ricavare una grande varietà di
figure geometriche tassellabili.
Iniziamo da una figura
geometrica facilmente costruibile partendo da una base assimilabile
ad un foglio a quadretti e costruiamo una tassellazione che viene
chiamata Osso facendo riferimento alla forma del suo modulo
base.
In questo caso conviene
rappresentare gli assi cartesiani e la griglia di cui il modulo
occupa esattamente un quadrato di lato 4 x 4.
Tracciamo un poligono
concavo di 12 lati con la forma rappresentata nella figura che
chiameremo P1 facendo bene attenzione che le coordinate dei punti
abbiano valori interi.
Gli altri elementi della
tassellazione sono ottenuti per traslazione e quindi vanno definiti
due vettori di lunghezza 4 perpendicolari tra loro con lo stesso
orientamento dei lati del quadrato che contiene il modulo.
In seguito conviene
nascondere i punti dei vertici e, partendo da P1 tracciare i
poligono traslati seguendo lo schema rappresentato nella immagine
sottostante.
Lo schema del comando per
ottenere una traslazione è:
Trasla[ <Oggetto>,
<Vettore> ]
Per mantenere uno schema
logico ordinato assegniamo anche le etichette ai poligono traslati.
P2 = Trasla[P1, u] P3 =
Trasla[P2, u] P4 = Trasla[P3, u]
Q1 = Trasla[P1, v] Q2 =
Trasla[P2, v]
Q3 = Trasla[P3, v] Q4 = Trasla[P4, v]
R1 = Trasla[Q1, v] R2 =
Trasla[Q2, v]
R3 = Trasla[Q3, v] R4 = Trasla[Q4, v]
E così di seguito per
rappresentare quanti moduli si desidera.
Visto che si tratta di una
serie di traslazioni dello stesso poligono è possibile costruire la
matrice di oggetti mediante due liste nidificate come è stato fatto
nel post precedente
Il comando che costruisce le
liste è:
h
v], h, 0, 3]
Si possono definire due
slider nelle variabili m ed n definite per numeri naturali e
costruire le liste dinamiche in modo che si possa variare il numero
di poligoni rappresentati.
Il comando diventa:
Tass =
Successione[Trasla[Successione[Trasla[P1, k u], k, 0, m-1],
h v], h,
0, n-1]
Questi procedimenti possono
essere applicati a qualsiasi modulo contenuto in un quadrato, la
particolarità di questo schema è che le porzio i di piano lasciate
libere dai poligoni hanno la stessa forma dei poligoni stessi.
Si può trovare il file all'indirizzo:
Si può trovare il file all'indirizzo:
Un'altra forma geometrica
con questa proprietà è la Croce Romana che presentiamo qui
anche se non è derivata dal quadrato
Il modulo base è formato da
una croce disegnata con l'aiuto dei quadretti della griglia, anche
qui è importante sincerarsi che le coordinate dei punti siano numeri
interi.
Definiamo poi i vettori u e
v come indicato in figura.
Se si eseguono delle
traslazioni del modulo base con i suddetti vettori si ottiene la
costruzione mostrata nella figura sottostante in cui lo spazio
lasciato libero dal modulo base è uguale al modulo stesso.
Le croci traslate sono
ottenute con i comandi:
M2 = Trasla[M1, u] M1' =
Trasla[M1, v] M2' = Trasla[M2, u]
Seguendo lo schema già
visto possiamo definire una lista dinamica che costruisca una
tassellazione di dimensione variabile.
Rportiamo il comando usato
per la lista anche se non presenta differenze sostanziali da quelli
visti.
Successione[Trasla[Successione[Trasla[M1,
k u], k, 0, m - 1],
h v], h, 0, n - 1]
Si può trovare il file all'indirizzo:
Un altro procedimento per
costruire una tassellazione che, partendo da un modulo quadrato si
può ottenere un poligono tale che, accostando le tessere, non si
formino spazi vuoti.
Si tratta di uno schema di
costruzione abbastanza semplice che lascia molte possibilità di dare
sfogo alla fantasia perchè, al contrario dei precedenti è uno
schema libero.
Si traccia un quadrato DEFG
ed i soliti due vettori perpendicolari con la stessa lunghezza e
direzione dei lati del quadrato.
Si prendono dei punti H, I
ed J che non appartengono ai lati del quadrato e si costruiscono i
punti H', I', J' traslati di u e v.
H' = Trasla[H, u] I' =
Trasla[I, v] J' = Trasla[J,v]
H, I, J sono gli unici punti
liberi della costruzione, possono essere spostati determinando forme
diverse. I tre punti traslati li seguono nel movimento e le tessere
che si formano restano sempre perfettamente accostabili.
Naturalmente possono essere presi più di tre punti, sempre con la
stessa logica e la bellezza delle figure dipende solo dalla fantasia
di chi le costruisce.
Si definisce il poligono
DIJEH'FJ'I'GH che può essere replicato per traslazioni successive
determinando la tassellazione.
Anche in questo caso si
possono costruire delle liste dinamiche in modo del tutto analogo al
caso precedente.
Abbiamo lasciato in evidenza
i tre punti liberi di colore rosso in modo che intervenendo su questi
si può cambiare la forma delle tessere.
Per una tassellazione di
questo tipo risulta gradevole l'uso di due colori che si alternano
come in una scacchiera, però si può imporre un solo colore per
tutti gli elementi di un a lista per cui si devono costruire più
liste di colori diversi.
Il comando per la
costruzione di una lista può essere costruito con la sintassi:
Successione[<Espressione>,
<Variabile>, <Valore iniziale>,
<Valore finale>,
<Incremento>]
in cui l'ultima opzione che
riguarda l'incremento da dare alla variabile è opzionale e può
esere tralasciato se l'incremento è 1 come capita nella maggior
parte dei casi.
Per costruire l'immagine
sottostante può essere usato il comando:
L =
Successione[Trasla[P1, k u], k, 0, 6,2]
In questo caso infatti i
valori assegnati a k sono 0, 2, 4, 6 e pertanto gli elementi che
verrebbero rappresentati da traslazioni per k dispari sono lasciate
vuote.
Per occupare tali spazi il
comando diventerebbe:
L =
Successione[Trasla[P1, k u], k, 1, 6,2]
Ancora incremento 2 ma
partendo da 1 quindi tutti i numeri dispari minori di 6
Mostriamo il modulo iniziale
e le tre tessere adiacenti che devono essere replicate per
traslazioni successive fino a formare la tassellazione.
La coppia di numeri
rappresentata sulle tessere rappresentano il valore iniziale che
devono avere le variabili k (la prima cifra) e h (la seconda cifra)
per rappresentare i colori alternati.
I comandi usati per
costruire le liste sono:
h v], h, 0, n-1,2]
h v], h, 0, n-1,2]
L01 =
Successione[Trasla[Successione[Trasla[P1, k u], k, 0, m-1,2],
h v],
h, 1, n-1,2]
L11 =
Successione[Trasla[Successione[Trasla[P1, k u], k, 1, m-1,2],
h v],
h, 1, n-1,2]
Ricordiamo,
per chi avesse difficoltà a seguire questi ragionamenti che le
tessere possono esere costruite una alla volta per semplice
traslazione e poi ad ugnuna può venire assegnato un colore
intervenendo sulle proprietà dell'oggetto.
Si può trovare il file all'indirizzo:
Si può trovare il file all'indirizzo:
Un
altro modulo a base quadrata è il seguente in cui, partendo da ABCD
abbiamo un solo punto libero: E. Partendo da questo costruiamo in
sequenza i punti F, G ed H con successive rotazioni in modo che al
poligono M1 possa essere accostato, nella sua parte superiore un
poligono uguale ruotato di 90° i cui profili coincidono.
Il
comando per eseguire la rotazione ha la seguente sintassi
Ruota[ <Oggetto>,
<Angolo>, <Punto> ]
in cui
si indica l'oggetto da ruotare specificando l'angolo di cui deve
essere ruotato e il punto rispetto a cui fare la rotazione.
Partendo
da E per la costruzione dei punti si usano in sequenza i comandi:
F = Ruta[E, 90°, D] G =
Ruota[F, 90°, C] H = Ruota[G, 90°, B]
Il
modulo da replicare è così costruito:
Il
modulo M10 è ottenuto ruotando di 90° M00 rispetto al vertice C in
alto a destra del quadrato iniziale, e così di seguito anche gli
altri, poi vengono assegnati i colori desiderati.
M10 = Ruta[M00, 90°, C]
M11 = Ruota[M10, 90°, C]
M01 = Ruota[M11, 90°, C]
La
tassellazione può essere fatta procedendo a traslare un elemento per
volta oppure con quattro liste che, rispetto a quelle viste sopra,
hanno una caratteristica diversa perchè non devono replicare un solo
elemento ma elementi uguali ma orientati in modo diverso.
Riportiamo
i comandi:
In
questo caso le variabili k e h partono sempre da 0 ed hanno un
incremento di due unità e per fare in modo che i quattro elementi
vengano sempre replicati in modo completo si può fare in modo che
anche m ed n siano sempre pari e quindi anche per queste viene dato
un incremento 2.
Si può trovare il file all'indirizzo:
Si può trovare il file all'indirizzo:
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