Condizioni che individuano una circonferenza

Procedimenti di costruzione

Gli elementi che definiscono una circonferenza in un piano sono Centro e Raggio ma una circonferenza può essere individuata anche quando si conoscono dei punti per cui passa o delle rette ad essa tangenti. Ci si domanda: quanti punti bisogna conoscere, oppure quante tangenti e, se si conoscono alcuni punti e alcune tangenti, quanti devono essere?

Il problema va affrontato nei seguenti termini: per individuare una circonferenza sono necessarie 3 condizioni ed in questa logica la conoscenza del centro corrisponde a due condizioni, il raggio, il passaggio per un punto o una tangente corrispondono ciascuno ad una condizione. Se di una circonferenza conosciamo una tangente ed il punto di tangenza abbiamo due condizioni.

Dovendo costruire una circonferenza con GeoGebra cerchiamo ora di analizzare tutte le possibilità che che ci sono, tenendo presente che talvolta di circonferenze ce ne sono più di una.

Per comodità abbreviamo le condizioni descritte con le parole: Centro, Raggio, Punto, Tangente che si possono ulteriormente abbreviare con le sigle C, R, P, T.

Conoscendo il centro abbiamo i casi: CR CP CT

Conoscendo il raggio abbiamo i casi: RPP RTT RPT

Nel caso di soli punti e tangenti: PPP PPT PTT TTT

Dobbiamo poi distinguere nel caso in cui c'è Punto e Tangente se il punto è punto di tangenza o è un punto di passaggio esterno alla retta tangente.

Passiamo in rassegna tutti i casi possibili in modo sistematico tralasciando per i puù semplici di mostrare le costruzioni.

CR – Si conosce il Centro ed il Raggio della circonferenza da costruire.

Per questa costruzione esiste un apposito strumento: Circonferenza – dati centro e raggio

Il raggio può essere indicato numericamente nella linea di edit della finestra a comparsa oppure, se si usa lo strumento Compasso la misura del raggio si indica cliccando su un segmento noto.

CP – Si conosce il Centro ed un Punto per cui deve passare la circonferenza.

Anche in questo caso esiste un apposito strumento: Circonferenza – dato il centro e un punto per tracciare la circonferenza richiesta.

CT – Si conosce il Cengtro ed una Retta a cui la circonferenza deve essere tangente.

Si manda dal centro la perpendicolare alla retta, si calcola il punto di intersezione tra le due rette che è il punto di tangenza per cui la circonferenza deve passare e si usa quindi lo strumento descritto nel caso visto sopra.

RPP – Si conosce il Raggio ed i Due Punti per cui la circonferenza deve passare.

In questo caso le circonferenze sono due.

Dati due punti A e B, si sa che il centro della circonferenza si deve trovare sull'asse del segmento AB perchè deve avere la stessa distanza da questi. Centrando in uno di questi, nel nostro caso A, si traccia la circonferenza c di centro r, che è il luogo dei punti che distano r da a. Si calcolano poi i punti D ed E di intersezione tra c ed r che sono i centri delle circonferenze da costruire.

RPT – Bisogna distinguere il caso (a) in cui il punto appartiene alla tangente o è esterno (b).

a) – Si conosce il Raggio della circonferenza la Tangente ed il Punto di tangenza.

Anche in questo caso le circonferenze sono due.

Dal punto di tangenza T si manda la perpendicolare (n) alla tangente stessa perchè i centri delle circonferenze si trovano su questa normale.

Poichè i centri devono trovarsi a distanza r dal punto di tangenza si traccia la circonferenza di centro T e raggio r e si calcolano i punti di intersezione tra questa e la normale che sono i centri delle circonferenze da trovare

b) - Si conosce il Raggio della circonferenza la Tangente ed il passaggio per un Punto.

Anche in questo caso le circonferenze sono due.

I centri delle circonferenze devono essere avere una distanza dalla retta r uguale al raggio della circonferenza e devono avere la stessa distanza dal punto P. Per tracciare la parallela p alla retta r si prende un punto N su questa, si manda la perpendicolare n e di prende su questa un punto E distante da r di un valore uguale al raggio delle circonferenza da tracciare.

Si manda da E la parallela alla retta r, poi centrando in P si traccia una circonferenza con raggio uguale al raggio della circonferenza da costruire. L'intersezione di questa circonferenza con la parallela si determinano i centri delle circonferenze richieste.

RTT – Si conosce il Raggio della circonferenza e Due tangenti ad essa.

In questo caso di circonferenze ce ne sono addirittura 4, ne costruiamo una.

Il centro della circonferenza si trova sulla bisettrice dell'angolo formato dalle due rette e deve avere una distanza dalla retta tangente uguale al valore del raggio per questo si traccia una parallela ad una delle due rette a tale distanza. Il centro si trova nel punto di intersezione della bisettrice con la retta parallela tracciata.

PPP – Circonferenza per Tre Punti non allineati.

Per costruire questa circonferenza esiste un apposito strumento di GeoGebra: Circonferenza – per tre punti.

La ricerca del centro di tale circonferenza corrisponde al problema di trovare il centro del cerchio circoscritto al triangolo determinato dai tre punti (Circocentro). Tale punto si trova nel punto di intersezione tra i tre assi dei lati del triangolo.

PPT – Bisogna distinguere il caso (a) in cui il punto appartiene alla tangente o è esterno ad essa (b).

a) Passaggio per Due Punti di cui uno è Punto di Tangenza.

Il centro della circonferenza deve essere equidistante dai due punti A e B e quindi deve trovarsi sull'asse del segmento AB, deve trovarsi sulla perpendicolare alla retta passante per B e quindi è il punto di intersezione tra queste due rette.

b) Passaggio per Due Punti generici e Tangente ad una Retta

Poichè AF deve essere una corda comune alle due circonferenze i due centri stanno sull'asse del segmento AF. I centri delle circonferenze devono essere equidistanti da un punto F e da una retta r, il luogo di punti che soddisfa questa proprietà è la parabola con fuoco F e direttrice r che può essere tracciata con uno strumento di GeoGebra (si potrebbe fare la stessa costruzione prendendo come fuoco il punto A).

I centri delle circonferenze sono nei punti di intersezione tra la parabola e l'asse del segmento.

Le circonferenze si tracciano con lo strumento Circonferenza - dati il centro e un punto.

Il procedimento descritto non è l'unico possibile, si possono usare anche strumenti di geometria elementare, senza l'uso di una parabola. Per chi fosse interessato si può trovare un esempio all'indirizzo: http://www.geogebratube.org/material/show/id/57774

In questo caso la parola 'elementare' non vuol dire che il metodo sia più semplice, infatti la facilità con cui GeoGebra traccia le parabole rende il metodo da noi indicato semplice ed elegante.

PTT – Bisogna distinguere il caso (a) in cui il punto appartiene ad una tangente o è esterno ad entrambe(b).

a) Si conoscono Due Rette Tangenti con Punto di Tangenza su una di queste.

Il centro della circonferenza deve essere equidistante dalle due rette r ed r' e quindi deve trovarsi sulla bisettrice dell'angolo, deve trovarsi sulla perpendicolare alla retta passante per P e quindi è il punto di intersezione tra queste due rette.

b) Si conoscono Due Rette Tangenti ed un Punto generico di passaggio.

Le circonferenze devono essere tangenti alle semirette che limitano l'angolo e quindi il loro centro sta sulla bisettrice dello stesso. I centri delle circonferenze devono essere equidistanti dal punto P e dalla retta r', il luogo di punti che soddisfa questa proprietà è la parabola con fuoco P e direttrice r che può essere tracciata con uno strumento di GeoGebra. I centri delle due circonferenze sono nei punti di intersezione tra la parabola e la bisettrice e le circonferenze si tracciano con lo strumento: Circonferenza – dati il centro e un punto.

Anche in questo caso per se non si vuole usare la parabola si può trovare un esempio di risoluzione all'indirizzo: http://www.geogebratube.org/material/show/id/57777

TTT – Circonferenza Tangente a tre rette.

Per costruire questa circonferenza esiste un apposito strumento di GeoGebra.

La ricerca del centro di tale circonferenza corrisponde al problema di trovare il centro del cerchio inscritto al triangolo determinato dalle tre rette (Incentro). Tale punto si trova nel punto di intersezione tra le tre bisettrici degli angoli del triangolo.

Le macchine che aiutano a ragionare

Un po' di storia

Fin dall'antichità gli uomini hanno cercato di utilizzare strumenti meccanici nelle loro costruzione geometriche e nei calcoli numerici, si potrebbe dire che uno sviluppo della geometria e della matematica come le conosciamo oggi non sarebbero state possibili senza l'uso di questi strumenti.

Fondamentali per la geometria sono stati l'uso della riga e del e compasso, un passo non da poco deve essere stato quello di essere riusciti a scoprire e a costruire l'angolo retto, da qui l'uso di uno strumento come la squadra, comoda per fare disegni ma non per misurare un angolo retto per la costruzione di un palazzo o il tracciamento di un campo.

Gli antichi egizi avevano scoperto l'esistenza di una famosa terna pitagorica (3, 4, 5) bastava una corda con dei nodi a distanze uguali, uno strumento quindi rudimentale ma utile, per costruire un triangolo rettangolo con lati proporzionali a tali numeri e ottenere quindi un angolo retto di grandi dimensioni.

Per il calcolo numerico basta citare l'abaco, molto simile ad un pallottoliere, usato dai popoli mediterranei e dagli indiani, un passo in avanti nel potenziamento delle possibilità di calcolo da parte degli uomini.

La costruzione di macchine matematiche è proseguita nell'arco di tutta la storia dell'uomo, perfezionandosi sempre più nei secoli con costruzione di compassi, pantografi e integrafi per risolvere i diversi tipi di problemi.

Molte di queste macchine, basate soprattutto su proprietà geometriche, sono state studiate dai più eminenti filosofi e matematici e di questo si trova traccia nei loro trattati. Un'ottima documentazione con la realizzazione di modelli reali di tali macchine si trova presso il laboratorio del dipartimento di matematica dell'università di Modena e Reggio Emilia.

Per un'ampia panoramica basta visitare il sito:

http://www.museo.unimo.it/theatrum/macchine/_00lab.htm

Sono state costruite anche macchine per il calcolo numerico; la Pascalina ideata dal grande Blaise Pascal è una delle più famose alla quale sono seguiti molti altri modelli più o meno riusciti finchè si è arrivati verso la fine dell'800 ad una produzione di calcolatrici meccaniche che hanno avuto una certa fortuna.

Hanno avuto più fortuna, come era logico, le calcolatrici elettriche: si limitavano per lo più a fare le quattro operazioni razionali, tuttavia nel secolo scorso sono entrate di prepotenza negli uffici amministrativi, nelle delle aziende e nelle banche.

Le macchine matematiche sopra citate sono, per loro natura, imprecise ed ottenere delle misure con tre cifre significative è un risultato non sempre raggiungibile.

Le calcolatrici numeriche invece sono più precise ed infatti il salto di qualità decisivo per ottenere risultati più attendibili è stata l'introduzione del piano cartesiano e della geometria analitica.

La possibilità di fare della geometria con i numeri e quindi di manipolare oggetti geometrici applicando ad essi la precisione del calcolo numerico è stata la molla che ha permesso di realizzare i computer con capacità grafiche.

Il monitor è formato da tanti punti gestiti come se si trattasse di un piano cartesiano in cui la posizione di ognuno è determinata da una coppia di numeri. Come sappiamo una terna di numeri ordinati sono in grado di individuare ogni colore ottenuto come composizione di tre colori primari quindi anche la gestione del colore può essere fatta con il calcolo numerico. La velocità di elaborazione fa il resto per cui ci troviamo a disporre di un mezzo molto potente a basso prezzo ed accessibile a tutti.

Il computer possiede la funzionalità di tutte le altre macchine citate: esegue calcoli e permette di simulare graficamente i movimenti delle macchine geometriche reali per il tracciamento di curve teoriche e quindi può essere visto come la macchina 'assoluta' che simula tutte le altre.

Il computer permette anche di simulare molti esperimenti fisici, non può sostituirsi agli esperimenti fatti in laboratorio ma può fare da supporto per il controllo ed il calcolo e, per uso didattico, è un ausilio potente ed economico.

Il software di geometria dinamica

Un posto di rilievo nello studio della geometria è occupato dai software di geometria dinamica che permettono lo studio e la manipolazione di figure geometriche, la rappresentazione di funzioni algebriche ed analitiche e molte altre cose.

GeoGebra non è l'unico software di questo tipo ma uno dei migliori ed unisce ad una notevole potenza di calcolo una semplicità di utilizzo che lo rendono molto apprezzato per uso didattico.

Prima vi vedere qualche esempio di utilizzo didattico vogliamo fare alcune considerazioni sulla validità teorica e pratica di uno strumento di questo tipo.

Fin dai tempi antichi, quando gli uomini hanno sentito il bisogno di sistematizzare lo studio della geometria si sono scontrati con l'esigenza stabilire in modo rigoroso la validità di alcune proprietà malgrado l'imprecisione delle rappresentazioni. L'essere riusciti, fin dai tempi di Pitagora ed Euclide a costruire un modello logico che, ispirandosi a modelli grafici ne superasse i limiti e permettesse di stabilire con sicurezza alcune verità intuite graficamente fu una grande conquista del pensiero umano.

La 'correttezza' di una proprietà geometrica quindi non è garantita da una buona rappresentazione ma dalla correttezza formale del ragionamento rispetto a determinate regole assunte come assiomi.

Premettiamo che non è possibile fare rappresentazioni con una precisione assoluta ma solo modelli grafici approssimati; ad esempio i punti definiti in geometria, senza dimensione, non si possono rappresentare e così pure linee a spessore nullo come sono definite nei postulati.

La rappresentazione fatta con un software sul monitor di un computer è, dal punto di vista grafico, inferiore ad una buona rappresentazione ottenuta con strumenti di disegno ma è l'immagine grafica di calcoli effettuati dal computer con numeri in doppia precisione (15 cifre) quindi con una garanzia di precisione che rimane molto alta anche dopo ripetuti passaggi.

Ad esempio se si deve tracciare una retta passante per due punti ottenuti come intersezione di altri elementi, nel caso questi punti siano vicini, la precisione ottenibile con una rappresentazione grafica si degrada in modo significativo. Se però questa retta è calcolata con procedimenti numerici partendo da due punti di cui si conoscono le coordinate in doppia precisione la correttezza della sua equazione è garantita. La rappresentazione grafica fatta da un software di geometria dinamica quindi, pur essendo fatta su un piano con un numero limitato di punti, ha un elevato grado di precisione anche dopo molti passaggi.

Facciamo notare che se dobbiamo far passare una linea da un punto, quando il cursore si avvicina al punto in oggetto questo cambia forma, non è solo per comodità; noi dobbiamo essere sicuri che la linea passi proprio per tale punto definito con le coordinate in doppia precisione. Tale precisione ce la deve garantire la macchina, noi non possiamo ottenerla in modo visuale posizionando il cursore.

Le coordinate esatte, quando interessano, possono essere rilevate o impostate solo nella vista algebra, mentre sul grafico il punto viene rappresentato da un cerchietto per renderlo più evidente.

Per un uso didatticamente corretto queste problematiche dovrebbero essere presentate almeno nella scuola media superiore in modo che gli studenti abbiano la consapevolezza delle potenzialità e dei limiti dello strumento che usano.

GeoGebra nella didattica

Pur riconoscendo le grandi possibilità che presenta GeoGebra non è facile utilizzarlo nell'attività didattica, il rischio è quello di mostrare ogni tanto qualche bella costruzione fine a se stessa senza integrarlo come aiuto nella spiegazione o nello studio.

GeoGebra, caso più unico che raro, può essere usato in diversi ordini di studi dalla scuola elementare per fare semplici costruzioni geometriche, all'università per rappresentare funzioni implicite, studiare curve parametriche o risolvere equazioni differenziali.

Per evitare una eccessiva generalizzazione ed anche per restare in tema e parlare in modo specifico di GeoGebra coma 'macchina matematica' limitiamoci a fare qualche esempio finalizzato all'uso nella scuola media inferiore o superiore.

I fondamenti teorici della geometria euclidea devono essere argomento di studio nel biennio della scuola superiore, l'uso del computer e del software di geometria dinamica va presentato in modo corretto come modello grafico della geometria euclidea: con il ragionamento teorico si fanno le dimostrazioni, con il modello grafico si verificano le congetture e naturalmente si possono verificare graficamente le proprietà studiate teoricamente.

Il software di geometria dinamica rappresenta un ulteriore passo rispetto alla pura e semplice rappresentazione grafica; la possibilità di modificare la posizione degli oggetti liberi lasciandone inalterate altre permette di verificare che determinate proprietà (tesi) sono conseguenza di alcune precise impostazioni (ipotesi) nella costruzione.

Gli insegnanti di disegno e di geometria sanno bene che alcune linee, in un disegno tradizionale, possono essere tracciate in modo approssimativo, copiando dal libro o dalla lavagna senza capire bene; con GeoGebra questo non è possibile e se anche ci si prova, basta spostare un punto per smascherare l'inganno perchè le linee tracciate in modo non corretto non seguono la logica della costruzione. Prima di tracciare una retta dobbiamo decidere per quali punti farla passare o la sua direzione e questo, dal punto di vista didattico, ha una certa importanza.

Alcuni esempi di utilizzo scolstico:

- Verifica di un teorema o di una congettura

Si costruisce un triangolo con due lati uguali, basta prendere due punti A e B su una circonferenza di centro C, qualsiasi posizione sulla circonferenza occupino tali punti il triangolo risulta isoscele. Se noi uniamo i punti A e B non facciamo nulla perchè i triangoli risultino uguali, però lo sono sempre, per qualsiasi posizione di questi punti. E' come se facessimo centinaia di disegni e vediamo che questa proprietà è sempre vera!

- Studio e ricerca di un luogo geometrico

Data una circonferenza di diametro AB si traccia una corda AP con P punto generico della circonferenza. Si vuole vedere il luogo dei punti medi della corda AP, si può impostare per il punto P la proprietà Animazione attiva e per il punto M la proprietà Traccia attiva così si può vedere il 'percorso' che fa M quando P si muove sulla circonferenza.

- Risoluzione di problemi

Come esempio di risoluzione di un problema possiamo segnalare un indirizzo di GeoGebraTube in cui si trova un'applet per risolvere un tipico problema di geometria della scuola media basato sulla suddivisione di segmenti.

http://www.geogebratube.org/material/show/id/51465

Nella stessa applet è definito uno strumento definito dall'utente per dividere segmenti in parti uguali.

Possibilità di aggirare difficoltà di calcolo

Vogliamo qui focalizzare un aspetto abbastanza interessante di un uso che può essere fatto di un software come GeoGebra che si comporta come una vera e propria 'macchina matematica' che ricevendo dati in input restituisce risultati analitici e geometrici.

Ci sono alcuni problemi di geometria o di fisica che per essere risolti in modo numerico sono richieste delle nozioni di algebra che i ragazzi non possiedono.

- Misure di lunghezza

Vediamo una serie di problemi che si basano sull'applicazione del teorema di Talete e che possono essere risolti con l'uso di GeoGebra che ci solleva dalle difficoltà di calcolo e ci permette di concentrare l'attenzione sul ragionamento.

Per misurare l'altezza di una torre senza salire in cima ci si può mettere di fronte, adagiare sul terreno un paletto orizzonta-le (OE) di misura nota posto in orizzontale allineato con la base della torre stessa. Si punta con uno strumento ottico verso la sommità alla torre 'leggendo' su un palo verticale graduato a quale altezza si trova un punto allineato con lo spigolo in cima alla torre.

Si ottengono due triangoli simili OEF e OAD e si si applica la similitudine:

FE : OE = DA : OA

Se si riesce a misurare sul terreno la distanza OA si può calcolare DA altezza della torre, se invece si conosce l'altezza DA si può calcolare la sua distanza.

Si può fare la costruzione con GeoGebra impostando i dati misurati e 'leggendo' nella vista algebra la lunghezza dei segmenti.

Una considerazione molto importante è che il valore del rapporto tra i due cateti del triangolo rettangolo DA/OA dipende solo dall'angolo e questo ci permette di stabilire che non conta la misura di OE da cui è partito il ragionamento. Possiamo raddoppiare la misura di OE, raddoppia anche la misura di FE

Problema

Ci troviamo a 120 metri da un palazzo e vediamo lo spigolo più alto con un angolo di 23.83° rispetto all'orizzontale, calcolare la sua altezza.

Facciamo la seguente costruzione con GeoGebra

Definiamo i punti O=(0,0) e A=(120,0) e costruiamo con lo strumento: Angolo di data misura l'angolo AOB di 23.83°. (Puntare su A, poi su O e digitare nella linea di edit il valore dell'angolo).

Si traccia la semiretta OA' e la retta x = x(A) perpendicolare alla linea del terreno e si calcola il loro punto di intersezione B. L'ordinata di tale punto rappresenta l'altezza del palazzo.

Si possono fare alcune considerazioni

Se ci allontaniamo a 240 metri dalla casa l'angolo sotto cui vediamo il palazzo diminuisce, verifichiamo con GeoGebra che non è la metà, se ci portiamo a 60 metri è il doppio?.

L'angolo quindi dipende dal rapporto ma non ha un andamento lineare.

Problema - Misura dell'altezza di una montagna

Si riesce a vedere la cima di una montagna da un piano orizzontale, prendiamo due punti a distanza di 100 metri uno dall'altro. Facendo conto che i punti si trovino su una retta orizzontale, osserviamo la cima sotto due angoli diversi di 24.59° dal punto più vicino alla montagna e di 21.53° da quello più lontano.

Usiamo gli assi cartesiani e definiamo due punti sull'asse delle ascisse A = (0,0) e B = (100, 0)

Con lo strumento Angolo di data misura definiamo gli angoli indicati dal testo e tracciamo le due semirette di cui possiamo calcolare il punto di intersezione V

L'ordinata di V rappresenta l'altezza della montagna misurata rispetto al piano della retta AB

La precisione del calcolo dipende dalla precisione delle due misure angolari ed in modo meno marcato anche dalla precisione con cui si è considerato la distanza tra A e B e da come si è riusciti a prendere AB perfettamente orizzontale.

Con L'uso di GeoGebra abbiamo risolto con semplici procedimenti geometrici un problema che richiede la conoscenza della trigonometria.

- Somma di due vettori

I vettori sono dei segmenti orientati molto utili in fisica sui quali si possono eseguire operazioni di somma e differenza. Si tratta di costruire parallelogrammi di cui si deve calcolare la lunghezza della diagonale, la costruzione geometrica è semplice ma il calcolo numerico richiede la trigonometria. Senza queste nozioni ci si deve limitare al caso particolare di vettori perpendicolari o formanti tra loro angoli notevoli.

Utilizzando GeoGebra si possono definire due slider per controllare le lunghezze dei vettori ed uno per impostare l'angolo di inclinazione tra i due vettori.

Con GeoGebra si calcola il vettore risultante di cui è possibile conoscere il modulo l'angolo di inclinazione.

Modificando gli slider è possibile impostare valori diversi e studiare i valori della risultante per angoli particolari di 0°, 180° ecc.