La luce ed il colore

Il colore come viene inteso comunemente è la 'sensazione' che proviamo quando una radiazione viene catturata dal nostro occhio e viene elaborata dal cervello cui è fatta pervenire da un complicato apparato visivo.

Nel nostro occhio ha sede un complesso meccanismo biologico, sensibile alla luce, in grado di trasformare la radiazione ricevuta in una serie di segnali che vengono poi elaborati dal cervello e trasformati in sensazioni visive. La conoscenza di meccanismi biologici è sempre complessa e suscettibile di perfezionamenti per cui non si può mai dire di possederla in modo completo e definitivo.

Ciò che è stato scoperto è che il sistema di recettori biologici che ci permette di 'vedere' ha sede sulla retina, che è una membrana che si trova sulla parete interna posteriore dell'occhio.

Tali recettori sono di due tipi, classificati in base alla loro forma: i coni e i bastoncelli.

I coni (150.000 per millimetro quadrato) sono responsabili della visione diurna e presiedono alla percezione del colore, sono posizionati in una piccola zona della retina, completamente priva di bastoncelli.

I bastoncelli, inferiori di numero sono molto più sensibili dei coni alla stimolazione da parte della luce, sono collegati alle cellule nervose solo a gruppi e questo fa sì che l'immagine che essi veicolano sia più confusa. La loro maggiore sensibilità permette all'occhio di vedere anche in condizioni di scarsa luminosità, quando i coni non riescono più a fornire informazioni utili al cervello.

La percezione visiva è sintetica al contrario della percezione dei suoni che è analitica.

Per chiarire il senso di questa affermazione notiamo che, se udiamo il suono di due strumenti musicali diversi riusciamo a distinguerli, un direttore di orchestra pur tra molti strumenti riesce a capire quale è lo strumento che stona. Con la luce questo non succede, rimane la misura dell'eccitazione suscitata proporzionale sia all'intensità della luce incidente sia alla sensibilità del recettore ma il nostro cervello recepisce semplicemente la somma dei due stimoli sotto forma di un unico stimolo che si 'vede' come un unico colore.

Il fisico inglese Thomas Young propose agli inizi dell'800 una teoria della visione in cui si riconosce la presenza di tre diversi tipi di recettori, con una sensibilità diversa ai colori rosso, verde e blu-violetto. La stimolazione combinata di questi tre diversi di recettori, decodificata dal cervello, determina la visione dei diversi colori.

Dato un simile modello di percezione dei colori (tristimolo), la visione, ad esempio, del colore giallo è l'effetto di una combinazione in cui i coni sensibili al verde ed i coni sensibili al rosso sono stimolati in modo intenso, mentre l'eccitazione dei coni sensibili al blu è trascurabile. In questo modo si spiega l'origine dei diversi colori e, con un deficit di sensibilità su alcuni tipi di recettori, si può spiegare anche il fenomeno del daltonismo.

L'occhio umano quindi è in grado di intercettare (vedere) la luce che colpisce la retina dell'occhio, quando noi 'vediamo' un oggetto con il suo colore in effetti vediamo la luce che questo oggetto riflette, infatti in un ambiente in cui non c'è luce non si vedono gli oggetti e tanto meno il loro colore.

La visione del colore

La luce che colpisce un oggetto non viene riflessa completamente, ne viene riflessa solo una parte ed ogni oggetto, in funzione della sua superficie, riflette una parte diversa della luce dell'ambiente, è proprio questa parte di luce riflessa che viene percepita come 'colore dell'oggetto'.

La luce solare, è costituita dalla somma di diverse lunghezze d'onda e quindi, a seconda della porzione riflessa ogni oggetto ci appare di diverso colore.

Una superficie ci apparirà gialla perchè, colpita dalla luce solare, riflette solo le radiazioni che il nostro sistema visivo percepisce come giallo e assorbe tutti gli altri tipi di radiazione, blu se riflette solo la lunghezza d'onda corrispondente al blu, nero se assorbe tutti i raggi luminosi, bianco se li riflette tutti. Questo spiega anche perché i corpi neri esposti al sole sono tendenzialmente più caldi di quelli bianchi, infatti assorbono una maggiore quantità di radiazioni.

L'oggetto quindi non ha un colore proprio, quello che vediamo dipende dalla frazione riflessa della radiazione luminosa che lo colpisce.

Siamo abituati ad attribuire ad un oggetto un suo colore come proprietà intrinseca, questo dipende dal fatto che la luce solare o quelle delle lampadine ad incandescenza è più o meno la stessa e cioè una luce bianca miscuglio di tanti colori, quindi il colore della superficie di un certo oggetto è quasi sempre lo stesso nei diversi ambienti in cui normalmente viviamo e la percezione di differenze minime è rilevata solo da strumenti o da persone particolarmente sensibili.

L'ultima frase detta però se ci si pensa bene non è completamente vera, senza ricorrere ad esperimenti particolari di cui parleremo in seguito, tutti noi sappiamo che una superficie, si pensi alla parete di una montagna, dà sensazioni visive diverse all'alba piuttosto che a mezzogiorno o al tramonto. E' la nostra immaginazione che gli attribuisce un colore solo, quello per esempio della luce diurna ma in effetti questo è arbitrario, non esiste un colore 'giusto'.

Tutto bello, ma come si spiega il colore di un inchiostro o di una vernice? Come si concilia quanto è stato detto con la possibilità di entrare in un negozio e chiedere una vernice rossa che, applicata ad una superficie la fa apparire rossa?

Le vernici e gli inchiostri sono costituiti da un liquido trasparente, di solito di tipo oleoso, che contiene in sospensione delle particelle minute (polveri o cristalli) di materiale in grado di assorbire determinate radiazioni : i pigmenti.

Una volta steso sulla superficie il liquido si asciuga e mantiene inglobate tali particelle che determinano il colore della superficie riflettendo la luce incidente in modo selettivo.

La scelta di questi pigmenti e del liquido di sospensione, il loro colore e la loro stabilità nel tempo è l'aspetto cruciale della qualità delle riproduzioni: stampe o dipinti.

Un po' di storia

Fin dall'antichità gli uomini hanno cercato di capire cosa fosse il colore, di dare cioè una spiegazione che permettesse di comprendere tutti i fenomeni legati ad esso.

La prima persona a dare una spiegazione scientificamente corretta del colore fu Isaac Newton (1642-1727) che ha spiegato il fenomeno dell'arcobaleno come particolare combinazione in cui si ottiene la separazione di radiazioni luminose provenienti da quella mescolanza di radiazioni che è la luce bianca. Newton fece i suoi esperimenti con un prisma ottico e ottenne la scomposizione della luce bianca in colori irriducibili.

Tale scomposizione è dovuta al fatto che l'angolo di rifrazione di una radiazione elettromagnetica, la deviazione che questa subisce quando attraversa superfici di separazione di sostanze diverse, dipende dalla lunghezza d'onda della radiazione stessa.

Mediante esperimenti Newton dedusse che la luce bianca è un miscuglio di radiazioni di diversa lunghezza d'onda.

Per un raggio luminoso entrante ne escono diversi di colore differente.

Fece passare uno dei raggi colorati colori ottenuti per un altro prisma e notò non viene ulteriormente scomposto per questo viene detto irriducibile, mentre se si fanno di nuovo convergere in un punto i raggi che sono stati separati si ottiene ancora luce bianca.

Quelli che sono stati chiamati colori irriducibili sono detti colori puri monocromatici, questi colori sono associati ad una precisa lunghezza d'onda della radiazione elettromagnetica.

Riportiamo il nome di questi colori e la loro lunghezza d'onda espressa in nanometri (nm).

380 nm	430 nm	480 nm	540 nm	577 nm	627 nm	698 nm
viola	indaco	blu	verde	giallo	arancio	rosso

E interessante notare che tra i colori ottenuti con il prisma non c’è il bianco che non è un colore puro, e non ha una lunghezza d'onda propria. Nello spettro ottenuto con il prisma manca anche il nero, questo è assenza di colore e quindi assenza di luce.

Newton affermò che i raggi non sono affatto colorati, è l'occhio umano che li percepisce come tali, prese anche in considerazione l'idea che la luce fosse composta da particelle di energia e non da onde e si accorse che l'apparato visivo umano ha un ruolo importante nella visione del colore, in pratica noi vediamo l'elaborazione che fa il cervello degli stimoli che riceve.

Una parte importante è svolta dall'apparato visivo umano che oltre agli occhi è costituito dal nervo ottico che trasmette i segnali al cervello che li elabora.

Queste intuizioni di Newton si sono dimostrate sostanzialmente corrette ma, malgrado la sua grande autorevolezza, non sono state accettate da tutti all'epoca in cui sono state esposte.

Tra i critici più autorevoli si annovera Wolfgang Goethe (1749-1832) che affrontò il problema più dal punto di vista artistico ed emozionale, la sua critica era errata per quanto riguarda la natura fisica del colore ma non inutile perchè servì ad approfondire l'aspetto emotivo della sensazione cromatica.

Goethe mostra in modo evidente l'importanza dell'apparato visivo nella percezione dei colori, fu tra primi ad indagare sul modo in cui i contesti e gli accostamenti modificano le sensazioni dei colori.

Ci sono voluti due secoli perchè Maxwell desse una sistemazione completa alla teoria ondulatoria della luce che però non spiega alcuni fenomeni legati alla luce per cui in seguito è stata elaborata la teoria dei quanti di energia, in pratica la vecchia teoria corpuscolare di Newton. La luce in questa teoria è vista come un treno di particelle elementari, palline di energia: detti fotoni o quanti di energia.

Allo stato attuale la teoria ondulatoria e la teoria corpuscolare convivono ma non è detto che sia finita qui perchè molti storcono il naso all'idea che, a secondo del fenomeno fisico che si considera, la luce debba essere vista in modo differente: onde o particelle.

Si tratta di modelli, infatti la spiegazione esaustiva delle leggi della natura si rivela estremamente complessa. Quanto si sà comunque è abbastanza per fare molte cose e del resto anche storicamente la mancanza di conoscenza scientifica del fenomeno non ha impedito ad uno stuolo di artisti di lavorare con il colore e di produrre opere di grande pregio.

Se si esclude il XX secolo che ha visto la comparsa della fotografia e, negli ultimi decenni, del monitor (televisione e computer); nei secoli passati le rappresentazioni venivano fatte soprattutto con la pittura: quadri ed affreschi.

Quando sono stati abbandonati i canoni dell'antichità in cui la rappresentazione artistica era sganciata dalla realtà fisica ma tesa a rappresentare divinità e simboli magici il colore ha assunto una importanza via via crescente.

A partire dar rinascimento gli artisti, che cercavano di rappresentare ritratti e paesaggi, si sono riproposti di riprodurre i colori presenti in natura ed hanno sempre avuto grossi problemi a procurarsi i pigmenti adatti. Noi siamo abituati ad andare al colorificio e comperare quello che ci serve ma teniamo presente che dietro c'è una industria chimica che prima del '700 non esisteva, la figura del pittore che si fabbricava i pigmenti macinando le più svariate sostanze colorate in bottega era la regola. Si trattava di una incombenza onerosa, ad essa nelle botteghe grosse si dedicavano i garzoni, i colori non erano molti e spesso la loro disponibilità e il loro prezzo hanno condizionato anche opere importanti.

Nella produzione dei colori intervengono anche gli alchimisti ma la strada che ha portato alla scoperta di un numero sufficiente di pigmenti stabili è stata lunga e difficile.

Non sempre la storia dell'arte tiene nella dovuta considerazione il problema, moltissime opere si sono rovinate per la scarsa qualità dei pigmenti usati ed il confronto tra pittori di epoche diverse è problematico perchè diversi erano i mezzi di cui disponevano gli artisti.

Per procurarsi un bel colore azzurro che servisse per colorare il manto di unSchermata del 2013-11-30 08:12:27a Madonna e che durasse nel tempo, alcuni pittori toscani sono stati indotti a fare un viaggio a Venezia, con tutto quello che comportava a quell'epoca in termini di rischio e di costo.

Anche se questo problema esisteva per molti colori sono stati il blu e l'azzurro che storicamente hanno dato più problemi e sono stati tra i colori più difficili da ottenere, si pensi che i committenti di opere d'arte talvolta imponevano il tipo di pigmento da utilizzare onde evitare che l'artista, per risparmiare, usasse pigmenti poco pregiati che rischiavano di compromettere la buona riuscita dell'opera e soprattutto la stabilità dei colori nel tempo.

Il colore e il senso comune

Quando si parla di luce e di colore bisogna tenere conto del comune sentire delle persone che non sempre è corretto dal punto di vista scientifico. Il senso comune interpreta siSchermata del 2013-11-30 08:12:27ngoli fenomeni relativi alla percezione di colore e non deve per forza avere una coerenza assoluta per tutti i fenomeni fisici che coinvolgono la luce.

Per un corretto insegnamento scientifico invece si deve esporre un modello coerente che inquadri meglio i vari aspetti legati al concetto di colore.

Seguono ora una serie di affermazioni verosimili ma scientificamente errate anche se sono prese per buone da molte persone.

• il colore è una proprietà intrinseca delle superfici degli oggetti
• tutte le sorgenti di luce, ci permettono di vedere e di percepire i colori;
• la luce che illumina gli oggetti non influisce nella determinazione del loro colore;
• la luce una volta prodotta dalla sorgente invade l’ambiente ed è sempre visibile
• la luce bianca del sole quando è alto sull'orizzonte è una luce di base, incolore e molto 'pura'

Infatti per vedere il colore di un oggetto occorre che questo possa riflettere una radiazione luminosa e deve essere direttamente colpito da tale radiazione. Si può provare con esperimenti di laboratorio che, se un oggetto riflette solo il colore blu (colore puro) ed è illuminato da una sorgente di luce che emette solo il colore rosso (colore puro) tale oggetto apparirà nero!

Infatti se nella sorgente non c'è il blu questo non può venire dal nulla; l’oggetto infatti non è una sorgente di luce, può solo riflettere la luce blu ma non produrla! Non può certo apparire rosso visto che assorbe la lunghezza d’onda corrispondenti a questo colore e quindi c'è assenza di colore riflesso che lo fa apparire nero.

Questo di solito non succede perchè nelle situazioni più comuni le sorgenti di luce non sono mai perfettamente monocromatiche ed anche gli oggetti raramente riflettono una sola lunghezza d'onda luce, in situazioni normali viene comunque 'visto' come molto scuro..

Consideriamo ad esempio un oggetto che, illuminato con luce bianca appare di colore magenta (un blu violaceo formato da due colori puri blu + rosso), se lo illuminiamo con una luce monocromatica verde lo vediamo nero, infatti il verde viene assorbito e la sorgente non contiene componenti rosse o blu e quindi nessun raggio di luce viene riflesso. Cosi se lo illuminiamo con luce rossa lo vediamo rosso e se lo illuminiamo con luce blu lo vediamo blu, per essere visto di colore magenta quindi deve essere colpito da un miscuglio di tutte le radiazioni come in effetti è la luce solare.

I Colori Primari

Abbiamo detto che si possono prendere raggi luce di diverso colore, farle convergere in un unico punto e ottenere un colore diverso, in un certo senso somma dei due. A questo punto si pone il problema: quanti colori ci vogliono per ottenere, con una loro combinazione tutti i colori visibili?

La parola 'tutti' è un po' troppo impegnativa ma una vasta gamma di colori che può soddisfare i nostri scopi può essere ottenuta combinando tra loro in modo opportuno tre colori, resta da stabilire quali sono i più adatti.

Sintesi additiva

Se si devono miscelare delle radiazioni luminose le terne di colori che possono essere utilizzate sono diverse, ma la terna più comunemente usata è quella formata da: rosso, verde e blu, nota anche come RGB (dall’inglese Red, Green, Blue).

Questi tre colori vengono chiamati colori primari additivi.

Non si può dire che tutti i colori della natura sono costituiti da combinazioni di rosso, verde e blu ma solo che è possibile stimolare la percezione della maggior parte dei colori esistenti con una opportuna scelta di questi tre colori.

L'operazione di riproduzione degli stimoli che ci fanno percepire i vari colori sommando tre colori primari si chiama sintesi additiva.

In questo modo si possono ottenere anche colori che non fanno parte dello spettro ottenuto con un prisma; infatti a questi colori (alla radiazione) non corrisponde una data lunghezza d’onda ma la sovrapposizione di almeno due colori puri di data intensità. Una analisi con un prisma della luce, farebbe ancora vedere i colori puri cioè le lunghezze d’onda che costituiscono la radiazione di stimolo, ma l’occhio 'vede' un unico colore.

Potrebbe sembrare strano ma abbiamo l'esempio dalla sensazione di bianco; cui non corrisponde nessuna lunghezza d’onda.

Sintesi sottrattiva

Un problema diverso si pone per il colore delle superfici che, ricevendo luce bianca riflettono determinati colori e non altri. In questo caso gli stimoli corrispondenti ai vari colori possono essere prodotti per mezzo della così detta sintesi sottrattiva.

La tecnica consiste nel selezionare le componenti della luce bianca con opportuni filtri; si tratta quindi di sottrarre alcuni colori alla luce bianca in modo che i colori riflessi producano sul nostro occhio lo stimolo necessario per farci percepire il colore voluto.

Anche in questo caso si pone il problema della scelta dei tre colori primari sottrattivi.

I colori primari nella sintesi sottrattiva sono: ciano, magenta e giallo nota come CMY (dall'inglese Cyan, Magenta, Yellow)

Bisogna fare attenzione a non confondere il ciano con il blu ed il magenta con il rosso come purtroppo viene fatto in alcune trattazioni superficiali dell'argomento.

Riassumiamo in uno schema

sintesi additiva	sintesi sottrattiva
Ciano = verde + blu	il ciano assorbe il rosso lascia passare il verde e il blu
Magenta = rosso + blu	il magenta assorbe il verde lascia passare il rosso e il blu
Giallo = rosso + verde	Il giallo assorbe il blu lascia passare il rosso e il verde

Combinando a coppie due filtri si possono ottenere di nuovo i colori primari. Se si utilizzano tutti e tre i filtri insieme non passa alcun colore: si ottiene il nero.

Concludendo: per gestire il colore sullo schermo del computer per ottenere i colori si deve usare la sintesi additiva, quando si passa alla stampa i colori sono ottenuti per sintesi sottrattiva, in effetti l'acronimo usato per le stampanti è CMYK (Cyan, Magenta, Yellow, blacK) infatti si preferisce usare direttamente l'inchiostro nero invece di ottenere il nero per sintesi. Il nero ottenuto per sintesi dei tre colori primari infatti non è un bel nero luminoso ma più simile ad un marrone sporco, molto scuro.

Si deve mettere in conto anche il bianco che non può essere ottenuto per sintesi sottrattiva, ma a questo ci pensa il colore della carta.

Morphing di una figura

Il Morphing è la trasformazione, graduale di una immagine in un altra di forma diversa.

Nel caso di morphing di un poligono basta trasformare i vertici poi, i vertici trasformati, si uniscono con il consueto strumento per disegnare poligoni.

Trasformazione graduale da un punto ad un altro

Per posizionare un punto su un segmento si può costruire il vettore B – A moltiplicarlo per un numero minore di 1, ad esempio 0.38 * (B – A) per ottenere un vettore minore del segmento e poi sommare questo vettore al punto A.

Una figura simile a quella mostrata può essere scritta nel seguente modo:

P = A + 0.38 (B - A)

Come passo successivo si può definire uno slider nella variabile t e scrivere:

P = A + t (B - A)

Perchè il punto si trovi sul segmento la variabile t deve essere compresa tra 0 ed 1

Se t assume altri valori il punto P si posiziona sul prolungamento del segmento

dalla parte di B se t > 1 e dalla parte di A se t < 0

Eseguendo il prodotto e raccogliendo a fattor comune A la relazione può essere scritta nella forma:

P = (1 – t) A + t B

che mette bene in evidenza che se t = 0 il punto P coincide con A e se t = 1 coincide con B.

Partendo da 0 ed aumentando il valore di t il punto percorre il segmento da A a B, se si vuole che il percorso venga fatto in senso inverso basta scrivere: P = t A + (1 – t) B

Trasformare un quadrato in un trapezio

Si definiscono il quadrato ABCD ed il trapezio EFGH ed uno slider nella variabile t e si trasformano i quattro vertici con i comandi digitati nella linea di inserimento:

A' = (1 - t) A + t E
B' = (1 - t) B + t F

C' = (1 - t) C + t G
D' = (1 - t) D + t H

Al variare di t si ottiene il risultato mostrato in figura, un poligono che modifica gradatamente la sua forma.

Queste formula si possono applicare per tutti i poligoni con uguale numeri di vertici.

Trasformazione di un quadrato in un esagono

Se il numero di vertici è diverso basta prendere dei punti sui lati in modo di avere lo stesso numero di punti nella figura di partenza ed in quella di arrivo. Nel nostro caso, vista la simmetria delle figure sono stati considerati i punti medi dei lati del quadrato

Si può fare in modo che anche il colore subisca una trasformazione e passi gradualmente da una figura all'altra.

Nel nostro caso il quadrato è blu con opacità al 50% e l'esagono è verde con la stessa opacità.

Se si considerano i colori dinamici che si possono impostare nella finestra di dialogo a comparsa che si richiama cliccando sul poligono A'B'N'C'D'M' con il tasto destro del mouse:

Proprietà/Avanzate/Colori dinamici

I colori dinamici possono essere gestiti con coordinate RGB (Red, Green, Blue) dove ogni colore è rappresentato da una terna di coordinate comprese tra 0 ed 1.

Il blu ha coordinate (0, 0, 1), il verde ha coordinate (0, 1, 0) ed al poligono A'B'N'C'D'M' si assegnano le coordinate: ( 0, t, (1 – t) ) che variano con continuità al variare dalla posizione dei punti trasformati.

L'App GeoGebra con questa costruzione può essere trovata su GeoGebraTube all'indirizzo:

http://www.geogebratube.org/material/show/id/59581

Suddivisione di una circonferenza (parte seconda)

Facciamo due modifiche all'App del post precedente (18 – novembre - 2013) che ne migliorano la presentazione con l'introduzione di un elenco a discesa per impostare il numero di settori e l'introduzione del colore per evidenziare meglio i settori.

Non sono stati cambiati rispetto all'esercizio precedente tutti i passaggi che riguardano il calcolo dell'ampiezza dei settori ed il calcolo delle percentuali

Elenco a discesa

Si tratta di una funzionalità abbastanza usuale nei programmi che è stata introdotta da GeoGebra come proprietà di una lista.

Per prima cosa bisogna definire una lista che contenga le voci dell'elenco, nel nostro caso

N = {2, 3, 4, 5, 6}

Si clicca con il pulsante destro del mouse sulla lista e nella finestra a comparsa per l'impostazione delle proprietà si seleziona la voce:

Proprietà/Fondamentali/Mostra gli elementi in un elenco a discesa

Questa azione costruisce l'elemento che si posiziona sulla vista grafica, bisogna ora intercettare il valore numerico che interessa per usarlo nei calcoli con il comando:

n = ElementoSelezionato[N]

La variabile intera n è quella che viene usata nella costruzione delle liste, è stato mantenuto lo stesso nome dell'esercizio precedente per cui tutto resta immutato .

Colorazione dei settori

Si tratta di una operazione che può essere fatta in modo molto semplice con i normali comandi o strumenti di GeoGebra, in questo caso però si vuole che i vengano impostati in modo automatico.

Poichè non si conosce in anticipo il numero dei settori bisogna usare GeoGebraScript che permette di dare gli stessi comandi in conseguenza di una azione sugli oggetti visualizzati nella finestra grafica.

Occorre fare la stessa azione vista nell'esercizio precedente di introdurre il primo elemento, cioè il punto posto sulla circonferenza a 0° che ovviamente coinciderà con l'ultimo, quello posto a 360°

Lp' = Aggiungi[(raggio, 0), Lp]

Costruiamo una lista di settori, ovviamente se ne costruiranno solamente n, quelli che servono.

Lset = Successione[SettoreCircolare[(0, 0), Elemento[Lp', k], Elemento[Lp', k + 1]], k, 1, n]

Si devono creare settori circolari

s1=Elemento[Lset,1]    s2=Elemento[Lset,2]

s3=Elemento[Lset,3]    s4=Elemento[Lset,4]

s5=Elemento[Lset,5]    s6=Elemento[Lset,6]

Come si può notare vanno dati i comandi per definire tutti i 6 settori, alcuni però si riferiscono ad elementi che non esistono nella lista Lset per cui verrà emesso nella vista algebra una indicazione di elemento non definito e tutto finisce qui, nella vista grafica vengono visualizzati i settori esistenti in modo corretto.

L'app descritta in questo post è disponibile per essere scaricata in geogebratube all'indirizzo:

http://www.geogebratube.org/material/show/id/58667

Suddivisione di una circonferenza in settori proporzionali a numeri dati

Si vuole fare in modo che le suddivisioni non siano un numero prefissato.

Numero delle suddivisioni: n

Si definisce uno slider nella variabile n che possa assumere valori interi tra 2 e 6.

Si definiscono poi sei slider nelle variabili n1, n2, n3, n4, n5, n6 che però non vengono visualizzati tutti ma solo in numero di n.

Gli n slider visibili verranno usati per impostare i numeri che determinano l'ampiezza dei settori circolari in cui è suddivisa la cireconferenza.

Il numero di queste variabili dipende dal numero massimo di suddivisioni che vogliamo fare.

Per esempio se n = 5 vengono visualizzati solo gli slider n1, n2, n3, n4, n5.

Quindi n1 ed n2 vengono mostrati sempre mentre n3 solo se si vogliono avere più di due settori, questo si ottiene scrivendo nella linea di editor della finestra Proprietà/Avanzate/ Condizioni per mostrare l'oggetto: n>2.

Allo stesso modo n4 viene mostrato se n>3, n5 solo se n>4 e ne6 solo de n>5.

Si predispone una lista contenente i sei numeri delle variabili n1, n2, ..., ad esempio:

Lnum = {n1, n2, n3, n4, n5, n6}

Non tutti però verranno usati per costruire le suddivisioni della circonferenza, dato che ne verranno usati solo n (numero intero impostato sullo slider) occorre costruire una lista contenente i primi n valori di Lnum.

L = Estrai[Lnum, 1, n]

D'ora in poi le liste successive che costruiscono i settori verranno costruite usando la variabile n.

Occore calcolare la somma dei valori di L: s = Somma[L]

L'ampiezza del settore circolare relativo ad un elemento k si calcola in base alla seguente proporzione: s : (elemento k) = 360° : (angolo di apertura del settore k)

Lista per calcolare l'ampiezza in gradi dei settori circolari:

Lg = Successione[360° Elemento[L, k] / s, k, 1, n]

occorre calcolare anche una lista con i valori cumulativi degli angoli per poter tracciare le suddivisioni.

Lgc = Successione[Somma[Estrai[Lg, 1, k]], k, 1, n]

A questa lista che contiene il valore 360° aggiungiamo anche il valore 0° che occupano la stessa posizione sulla circonferenza.

Lgc' = Aggiungi[0°, Lgc]

Tracciamo sulla circonferenza i punti che determinano le suddivisioni della circonferenza in archi proporzionali:

Lp = Successione[Ruota[P, Elemento[Lgc, k], O], k, 1, n]

Tracciamo i raggi che delimitano i settori circolari:

Ls = Successione[Segmento[O, Elemento[Lp, k]], k, 1, n]

Utilizzando la lista L calcoliamo i valori percentuali degli n numeri inseriti

Lper = Successione[Elemento[L, k] / s 100, k, 1, n]

Finora la lista Lgc' non è stata usata perchè non serviva ma ora inserire dei testi all'interno dei settori circolari bisogna avere un primo ed un ultimo valore nella sequenza degli angoli per determinare le posizioni centrali dei settori

Segue la lista dei testi dove ai valori percentuali viene aggiunto il simbolo %

Lt = Successione[Testo[Elemento[Lper, k] + " %", (2 raggio / 3; Elemento[Lgc', k] + Elemento[Lg, k] / 2)], k, 1, n]

La posizione in cui sono scritti i testi è espressa dal punto scritto in coordinate polari (notare il punto e virgola tra le coordinate) posto a distanza 2/3 dal raggio sulla bisettrice del settore in una posizione angolare ottenuta facendo la media degli angoli che delimitano il settore stesso.

(2 raggio / 3; Elemento[Lgc', k] + Elemento[Lg, k] / 2)

Le liste relative ai testi si possono togliere se si vogliono aggiungere un numero elevato di suddivisioni.

La App funzionante descritta sopra può essere scaricata all'indirizzo di GeoGebraTube: http://www.geogebratube.org/material/show/id/55992