Matrice di trasformazione
Riprendiamo la formula delle
trasformazioni lineari vista nel post precedente:
e1
= [1 0] ed e2 = [0 1]
ciascun vettore a due componenti si può
scrivere come combinazione lineare di questi che sono una base dello
spazio a due dimensioni.
Quindi, anche nel caso dei punti
associati, se consideriamo:
A = (2, 3) B = (-1, 2)
C = (4, -1)
I vettori possono essere scritti nella
forma:
a = [2 3] = 2 e1 + 3 e2
= 2*[1 0]+ 3*[0 1]
b = [-1 2] = - e1 + 2 e2
= -1*[1 0]+ 2*[0 1]
c = [4 -1] = 4 e1
- e2 = 4*[1 0]+ -1*[0 1]
Eseguiamo le trasformazioni
di e1 ed e2 :
si può notare che questi
vengono trasformati rispettivamente nella prima e nella seconda riga
della matrice di trasformazione.
Questa proprietà ci aiuta a
determinare con facilità la matrice di trasformazione.
Dato il punto P = (3, 1) ed
il suo vettore associato p = [3 1]
Consideriamo la
trasformazione:
dove p viene trasformato
in p' = [5 6]
Si può notare che i versori
fondamentali vengono trasformati in:
e1
= [1 0] viene trasformato in: e'1 = [2
1]
e2
= [0 1] viene trasformato in: e'2 = [-1
3]
Il vettore p si
ottiene come combinazione lineare di di e1
ed e2
p = [3 1] = 3e1
+ e2
ed il vettore p' si
ottiene come combinazione lineare di e'1 ed
e'2
p' = 3 e'1
+ e'2 = 3 [2 1] + [-1 3] = [6 3] + [-1
3] = [5 6]
Il vettore P' quindi è la
combinazione lineare secondo gli stessi coefficienti dei vettori che
corrispondono ai versori fondamentali come si può vedere nella
figura sottostante.
Per p si prende
come riferimento la griglia cartesiana nera e per p' la
griglia affine rossa.
Utilizzando la proprietà
esposta diventa facile individuare le matrici di trasformazione di
alcune trasformazioni particolari.
Nello stiramento di rapporto
k nella direzione dell'asse delle y il vettore e2
= [0 1] va trasformato in e'2 = [0 k]
mentre e1 deve restare invariato quindi la
matrice di trasformazione sarà Sty.
Se h = k abbiamo lo stesso
rapporto di stiramento nelle due direzioni quindi si tratta di una
omotetia con la matrice di trasformazione Om.
Stiramenti con GeoGebra
Costruiamo un'applet
GeoGebra per fare stiramenti di figure
La matrice T' viene
costruita moltiplicando T per la matrice di trasformazione ed usata
per costruire il triangolo trasformato.
La scelta della
trasformazione viene fatta mediante tre caselle di controllo
selezionabili una sola alla volta. Ad ogni selezione viene mostrato
uno slider che serve per impostare il valore numerico del rapporto di
stiramento.
La scelta esclusiva sulle
tre variabili logiche (e, f, g), lo slider che va mostrato e
l'operazione che va eseguita sono controllate mediante comandi
GeoGebraScript che mostriamo di seguitoper la variabile logica e che
controlla lo stiramento orizzontale.
e = true la
variabile cliccata viene impostata a Vero
f = false
g = false
h = 1 Viene
assegnato il rapporto di stiramento orizzontale
ImpVisibileInVista[h, 1,
true ] viene mostrato lo slider h
ImpVisibileInVista[k, 1,
false ]
ImpVisibileInVista[t, 1,
false ]
T' = T*Stx viene
eseguita la trasformazione
In modo analogo si procede
per la variabile f che controlla los tiramento vertoicale e la g che
controlla l'omotetia.
Chi vuole scaricare l'applet può trovarla all'indirizzo:
Chi vuole scaricare l'applet può trovarla all'indirizzo:
Matrice di rotazione
Con la stessa regola,
tenendo presente che i punti A e B devono essere ruotati di un angolo
α
si possono facilmente trovare i punti A' e B' e di
conseguenza la matrice R di rotazione.
Contenuto cella B2:
-sin(alfa) contenuto cella C2: cos(alfa)
Come visto nel post sulle
isometrie si possono fare prodotti di trasformazioni eseguendo il
prodotto delle matrici di trasformazione e si possono fare anche le
trasformazioni inverse, che riportano il punto nella sua posizione
iniziale moltiplicando per le matrici inverse.
Traslazione
La traslazione di un punto
nel piano cartesiano si realizza sommando alle sue coordinate un
vettore traslazione. Le due forme cartesiana e matriciale sono:
# - Non si tratta più
di un prodotto tra un vettore ed una matrice di trasformazione ma di
una somma di vettori per cui, se i deve traslare un triangolo occorre
sommare la matrice 3x2 con un'altra matrice 3x2. Non c'è più una
matrice sola che trasforma figura di un numero di vertici diverso.
# - Nel caso delle
trasformazioni composte la diversa combinazione tra somme e prodotti
crea problemi di non facile soluzione.
Per costruire una applet che
esegue una traslazione possiamo predisporre nel foglio di calcolo due
aree di input: una per il triangolo ed una per il vettore di
traslazione.
Definiamo una lista: Vt
= {B1, C1}
Con questo vettore
costruiamo la matrice di traslazione Mt = {Vt, Vt, Vt}
La
lista Vt ha come elementi le componenti del vettore di traslazione
e la matrice Mt è costruita come lista di liste, in tal modo non è
difficile modificare l'applet in modo che venga trasformato un
quadrilatero o una figura qualsiasi.
Utilizzando la matrice T' si
definisce nel solito modo il poligono per la rappresentazione sul
piano del triangolo trasformato.
Queste formule permettono di
fare qualsiasi trasformazione affine ma non si prestano per uno
studio delle trasformazioni composte per cui rimandiamo tale studio
ad uno dei prossimi post in cui predisporremo delle applet con
formule più adatte.
